MIT Meccanica Classica – Cinematica 3D, Prodotto Vettoriale e Scalare [Sub-Ita] 5/6

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00:35:20,000 –> 00:36:00,000
Noi analizzeremo con enorme successo queste traiettorie scomponendo questi moti così complicati. Immaginate quale incredibile traiettoria ad arco compie la palla, eppure siamo sempre in grado di scomporre tale moto nel moto lungo la direzione X che è completamente indipendete dal moto della componente Y. Ovviamente dovremmo sempre combinare le due per ottenere quello che sta facendo la particella. Conosciamo le equazioni del moto unidimensionale con accelerazione costante.

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00:36:00,000 –> 00:36:30,000
La prima linea vi da la posizione X in funzione del tempo. Il pedice T indica che cambia col tempo. E’ la posizione in T uguale a zero più velocità in T uguale a zero più un mezzo A di X per T al quadrato se c’è un accelerazione nella direzione X. La velocità si ottiene immediatamente facendo la derivata prima dello spazio nel tempo, mentre l’accelerazione si ottiene facendo la derivata della velocità.

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00:36:30,000 –> 00:37:05,000
Ora, se avessimo un moto ancora più complicato – che raggiunge le due o tre dimensioni – possiamo scomporre il moto su tre assi perpendicolari e potete rimpiazzare ogni X qui con una Y che vi darà l’intero andamento lungo l’asse Y e se volete conoscere l’andamento lungo l’asse Z vi basta sostituire queste X con Z. In questo modo avrete scomposto il moto su tre direzioni. Ognuna di esse è lineare. Questo è quello che voglio fare adesso.

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00:37:05,000 –> 00:37:50,000
Lancerò un oggetto, una palla da golf o una mela in questa classe e tutti noi sappiamo che tale moto si svolgerà sull’unico piano verticale. Quindi avremo un moto su due dimensioni. Questo sarà il mio asse X mentre quest’altro sarà il mio asse Y. Indicherò con questo l’incremento di X e con quest’altro l’incremento di Y. Avrei potuto prendere questo come incremento di Y ma oggi ho deciso di prendere questo come incremento di Y. Sono libero di scegliere.

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00:37:50,000 –> 00:38:40,000
Tiro un oggetto con una certa angolazione e vedrò un moto di questo tipo – boing! – e torna indietro sul pavimento. La mia velocità iniziale quando ho lanciato l’oggetto era V di zero e l’angolo qui è alfa. La componente X de quella velocità iniziale è V di zero per il coseno di alfa e la componente Y è uguale a V di zero per il seno di alfa. Quindi questa è la velocità iniziale lungo l’asse X mentre questa è la velocità iniziale lungo l’asse Y.

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00:38:40,000 –> 00:39:35,000
Trascorso un pò di tempo l’oggetto si trova in questo punto P e adesso il vettore posizione che abbiamo chiamato R di T è questo vettore qui. Questo è il vettore che si sta muovendo nel tempo. In questo istante di tempo, X di T è qui mentre Y di T si trova qua. Adesso vedrete per la prima volta l’enorme vantaggio che comporta l’aver scomposto il moto in due moti unidimensionali, che vivono una vita completamente indipendente fra di loro.

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00:39:35,000 –> 00:40:08,000
Prima X. Voglio sapere tutto quello che c’è da sapere su X. Voglio sapere dove si trova in ogni istante di tempo, voglio conoscere la velocità e l’accelerazione, solo lungo l’asse X. Prima di tutto voglio sapere quello che succede in T uguale a zero. Beh per T uguale a zero, posso scegliere liberamente X uguale a zero quindi possiamo dire che X di zero è uguale a zero. Adesso voglio V di zero in X, qual è la velocità?

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00:40:08,000 –> 00:40:48,000
La velocità in T uguale a zero, che abbiamo chiamo V di zero in X – è questa velocità, V di zero per coseno di alfa. E non cambierà. Perchè non cambierà? Perchè X è nulla questo termine sparisce e rimane solo V di zero in X. Quindi in tutti gli istanti di tempo la velocità lungo l’asse X è uguale a V di zero per coseno di alfa e l’accelerazione lungo X è nulla. Adesso voglio fare lo stesso sempre per la direzione X ma per un tempo generico T.

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00:40:48,000 –> 00:41:35,000
Beh, al tempo T, guardo la prima equazione li. X di zero è zero. Conosco V di zero in X, che vale V di zero per coseno di alfa quindi X di T è uguale a V di zero coseno di alfa per T ma non c’è una accelerazione. Qual è V in X di T? la velocità lungo la direzione X per ogni istante di tempo. E’ semplicemente V di zero in X. Non cambia nel tempo perchè non c’è accelerazione. Quindi la velocità iniziale per T uguale zero è la stessa per T-secondi dopo e l’accelerazione è nulla.

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00:41:35,000 –> 00:42:30,000
Adesso faremo la stessa cosa per la direzione Y. E proprio ora vedrete il vantaggio della scomposizione del moto. Nella direzione Y, scambiamo le X con le Y e quindi partiamo per T uguale a zero. Guardate là. Questo diventa Y di zero uguale a zero. Posso sempre chiamare l’origine zero. Beh, V di zero in Y è questa quantità, è V di zero seno di alfa. Quella è la velocità all’istante T uguale a zero, e vale zero all’istante T uguale a zero.

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00:42:30,000 –> 00:43:10,000
Quanto vale l’accelerazione lungo l’asse Y all’istante T uguale a zero? Qual è l’accelerazione? Deve avere a che fare con la gravità. Non c’è un’accelerazione nella direzione X ma credetemi esiste un’accelerazione lungo l’asse Y. Quindi l’accelerazione entra in gioco solo nelle equazioni per Y. Bene, se indichiamo con G uguale 9.80 l’accelerazione dovuta alla gravità – e la indicherò sempre con G – quale sarà l’accelerazione lungo la direzione Y considerando quest’incremento di Y?

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00:43:10,000 –> 00:44:00,000
Class: “Meno 9.80″ Lewin: Meno 9.8, che chiamerò sempre meno G perchè G sarà sempre positiva. Quindi si tratta di meno G. Quindi tutto ciò è quello che succede per T uguale a zero, ora devo fare la stessa cosa per un generico istante di tempo T. Al tempo T uguale a T, abbiamo la prima linea li. Y di zero è zero. Quindi abbiamo Y in funzione del tempo, Y di zero è zero perciò non dobbiamo lavorare con quella. Quindi questa è zero, perciò V di zero in Y per T ottengo V di zero seno di alfa per T più un mezzo