MIT Meccanica Classica – Cinematica 3D, Prodotto Vettoriale e Scalare [Sub-Ita] 4/6

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Se avessimo avuto B x A allora avremmo dovuto prendere B e ruotarlo sopra A dell’angolo più piccolo possibile. In questo caso avremmo dovuto girare in senso anti orario e girando in senso anti orario il cavatappi, questo esce fuori. Ecco vedete – quindi il vettore sta puntando in questa direzione. Se vettore punta verso di voi allora dovremmo disegnarlo come un cerchio con un puntino.

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In altre parole per questo vettore B x A avremmo lo stesso modulo ma uscirebbe fuori dalla lavagna. Detto in altre parole A x B è uguale a meno B x A con il prodotto scalare di A con B e B con A sono identici. Incontreremo il prodotto vettoriale quando tratteremo le torsioni ed il momento angolare che non sono le parti più semplici di questo corso. Facciamo un esempio molto semplice.

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00:27:40,000 –> 00:28:14,000
Ancora una volta, non voglio insultarvi con questi tipi di esempi ma ne avrete sicuramente di più difficili nei vostri esercizi. Supponiamo di avere il vettore A uguale al vettore X unitario. E’ un vettore unitario nella direzione di X. Questo significa che A di X è uguale ad uno e A di Y è uguale a zero così come per A di Z. Supponiamo pure che B sia uguale al versore Y. Ciò significa che B di Y vale uno

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00:28:14,000 –> 00:29:00,000
mentre B di X e B di Z sono nulli. Qual è quindi il prodotto vettoriale A x B? Beh, potete utilizzare quel metodo ma è più facile andare sugli assi X, Y e Z che abbiamo qui. A si trova nella direzione di X mentre B nella direzione Y. Prendo A in mano e lo ruoto dell’angolo più piccolo che è di 90 gradi fino ad Y, ed il mio cavatappi punterà verso l’alto. Quindi già conosco tutto. So che questo prodotto dovrà essere il versore Z.

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Il modulo deve essere uno, questo è immediato ed è altrettanto immediato trovare la direzione con il metodo del cavatappi. Ora se siete davvero smart potreste dirmi “Aha! Ha trovato più Z” solo perchè ha usato quel sistema di riferimento. “Se quest’asse fosse stato X mentre quest’altro Y allora il prodotto vettoriale fra X e Y sarebbe stato meno Z” Si avete ragione, ma se vi dovesse capitare farlo… Vi uccido!

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00:29:31,000 –> 00:30:00,000
Dovrete sempre, sempre lavorare con quello che chiamiamo sistema di coordinate “mano destra”. In un sistema di coordinate destre per definizione avremo sempre più Z come prodotto vettoriale di X con Y e non meno Z. Quindi se in futuro avrete a che fare con prodotti vettoriali, torsioni o momenti angolari prendete sempre le coordinate XYZ in modo da avere più Z come prodotto vettoriale di X con Y.

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00:30:00,000 –> 00:30:48,000
Non fate mai in modo che il prodotto vettoriale di X con Y sia meno Z. Vi impicchereste da soli. Per una piccola cosa, non funzionerebbe più niente. Quindi state molto molto attenti. Se usate la regola del cavatappi destro dovete essere sicuri di utilizzare un sistema di coordinate destre. Bene, adesso abbiamo terminato con la parte peggiore. Adesso voglio scrivervi le equazioni del moto di una particella nello spazio tridimensionale.

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00:30:48,000 –> 00:31:25,000
Un moto molto complicato che posso a mala pena immaginare. E’ un punto che si muoverà nello spazio e questo punto sarà P. Questo punto P si muoverà nello spazio ed ora chiamerò questo vettore OP, vettore R a cui darò un sub indice T per indicare il suo cambiamento nel tempo. Indicherò questa posizione A di Y con Y di T. Sta cambiando col tempo. Chiamerò quest’altro X di T – perchè anche questo sta cambiando col tempo.

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00:31:25,000 –> 00:32:22,000
Chiamerò questo punto Z di T che cambierà col tempo perchè il punto P si muoverà. Quindi scriverò il vettore R nella forma più generale possibile. R, che cambia con il tempo adesso è X di T per il verso X più Y di T per il versore Y più Z di T per il versore Z. Ho scomposto il vettore R con tre vettori indipendenti. Ognuno dei quali varia col tempo. Qual è la velocità di questa particella? Beh, la velocità è la derivata prima dello spazio sul tempo, perciò dR/dT.

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00:32:22,000 –> 00:33:00,000
Quindi cominciamo, la derivata prima di questo è dX/dT per il versore X – siccome sono pigro indicherò X con un puntino sopra la sua derivata prima nel tempo mentre con due puntini indicherò la derivata seconda, è una nozione che userò spesso perchè altrimenti alcune equazioni possono sempre molto disordinate – più Y col puntino per il versore Y più Z col puntino per il versore Z. Perciò Z col puntino è la derivata prima di Z nel tempo.

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00:33:00,000 –> 00:33:33,000
Qual è l’accelerazione in funzione del tempo? Beh, l’accelerazione in funzione del tempo è uguale alla prima derivata della velocità nel tempo perciò dV/dT. Siccome le seconde derivate le indichiamo con due puntini avremo X con due puntini per il versore di X più Y con due puntini per il versore di Y più Z con due puntini per il versore di Z. E guardate a cosa siamo arrivati, sembra poco ma più tardi ci sarà di enorme aiuto.

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00:33:33,000 –> 00:34:10,000
Abbiamo un punto P che siamo su tre dimensioni e qui abbiamo l’intero comportamento della proiezione sull’asse X della particella. Questa è la posizione, questa è la sua velocità e questa la sua accelerazione. Qui invece abbiamo l’intero andamento della sua posizione sull’asse Z. Questa è la sua posizione sull’asse Z, questa è la componente Z della sua velocità mentre qui abbiamo la componente Z della sua accelerazione.

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00:34:10,000 –> 00:34:40,000
E qui abbiamo la parte di Y. In poche parole abbiamo scomposto il moto tridimensionale in tre moti unidimensionali. Questo è un moto unidimensionale. Questo è il suo comportamento sull’asse X questo sull’asse Y mentre quest’altro sull’asse Z, l’insieme di queste tre moti unidimensionali forma l’intero moto tridimensionale della particella. Che cosa abbiamo ottenuto? Sembra come uno zoo di matematica.

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00:34:40,000 –> 00:35:20,000
Voi direste “Beh, se questo è come appare la questione, sarà un inferno”. Non proprio infatti c’è un trucco che vi aiuterà moltissimo. Prima di tutto se tiro una palla da tennis in classe in questo modo, allora l’intera traiettoria giacerà sul piano verticale. Quindi anche se si tratta di un moto tridimensionale, possiamo comunque rappresentarlo con due assi, con due dimensioni un asse Y ed un asse X perciò molto spesso un problema tridimensionale si riduce ad un problema 2D.

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Noi analizzeremo con enorme successo queste traiettorie scomponendo questi moti così complicati. Immaginate quale incredibile traiettoria ad arco compie la palla, eppure siamo sempre in grado di scomporre tale moto nel moto lungo la direzione X che è completamente indipendete dal moto della componente Y. Ovviamente dovremmo sempre combinare le due per ottenere quello che sta facendo la particella. Conosciamo le equazioni del moto unidimensionale con accelerazione costante.