MIT Meccanica Classica – Cinematica 3D, Prodotto Vettoriale e Scalare [Sub-Ita] 3/6

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00:17:25,000 –> 00:17:55,000
Lo vedremo all’opera, senza troppi giochi di parole quando tratteremo del lavoro in fisica. Vedrete che potremmo avere un lavoro positivo oppure un lavoro negativo e questo dipenderà dal prodotto scalare. Lavoro ed energia sono prodotti scalari. Potrei farvi un esempio semplicissimo, il più semplice che mi viene in mente. Vi sembrerà quasi un insulto, ma non è così.

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00:17:55,000 –> 00:18:45,000
Supponiamo di avere il prodotto scalare di A con B ed A è il vettore che vedete sulla lavagna. Proprio qui, questo è A. Mentre B è due per Y con il cappelletto. Bene, cos’è A scalar B? Non c’è una componente X di B quindi quello diventa zero, questo termine rimane zero. C’è solo la componente Y di B quindi viene meno cinque più due perciò ottengo meno dieci, perchè non c’era una componente Z.

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00:18:45,000 –> 00:19:12,000
Più semplice di così quindi viene meno dieci. Posso farvi un altro esempio, secondo esempio. Supponiamo che proprio A sia il vettore unitario nella direzione Y e che B sia il vettore unitario nella direzione Z. Allora quanto vale il loro prodotto scalare? Voglio sentirlo forte e chiaro. Classe: Zero. Lewin: Yeah! Zero. E’ zero, non dovete pensare a nient’altro.

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00:19:12,000 –> 00:19:45,000
Sapete che si trovano a 90 gradi. Se volete perdere tempo e volete sostituire qui vedrete che quello che viene è zero. Dovrebbe funzionare perchè chiaramente A di Y indica che questo vale uno. Questo è quello che indica. E B di Z vale uno mentre tutti gli altri non esistono. Bene, vi auguro buona fortuna con questo e adesso passiamo ad una parte della moltiplicazione fra vettore che è ancora più complicata.

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00:19:45,000 –> 00:20:20,000
Parliamo della moltiplicazione fra vettori chiamata “prodotto vettoriale” o anche detto prodotto croce. Questo prodotto vettoriale è indicato come A x B = C. Vi dirò come faccio a ricordarlo.  Questo è il primo metodo. Vi insegnerò come ho già fatto per il prodotto scalare, due modi per eseguire il prodotto vettoriale. Vi spiegherò il primo metodo che è quello che funziona sempre.

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00:20:20,000 –> 00:20:53,000
Ci vuole molto tempo ma funziona sempre. Scrivete una matrice con tre righe. Nella prima riga scrivete i versori di x, y e z. Nella seconda riga scrivete A di X, A di Y e A di Z. E’ importante che se qui abbiamo prima A allora la seconda riga deve essere A mentre la terza riga conterrà B di X, B di Y e B di Z. Quindi quei sei sono numeri mentre quelli sono vettori unitari.

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00:20:53,000 –> 00:21:48,000
Ripeterò questa parte qui e anche da quest’altro lato – fra poco capirete a cosa mi serve. Ok, ed ora ecco la ricetta. Partite dall’angolo in alto a sinistra, fino all’angolo in fondo a destra. Moltiplicate tutti e tre gli elementi, con il segno più. Quindi avrete C, il prodotto vettoriale di A con B, uguale a A di y per B di Z per il versore X – che per il momento non metterò.

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00:21:48,000 –> 00:23:05,000
Questo perchè devo sottrarre quest’altra parte, che tiene segno negativo. Abbiamo A di Z per B di Y perciò avremo meno A di Z per B di Y, tutto nella direzione X. Il seguente è questo qui. A di Z per B di X meno A di X per B di Z nella direzione Y. L’ultimo addendo è A di X per B di Y meno A di Y per B di X nella direzione Z. Questa parte qui è quella che chiamiamo C di X.

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00:23:05,000 –> 00:23:43,000
E’ la componente in X di questo vettore mentre quest’altro lo possiamo chiamare C di Y e quest’ultimo C di Z. Quindi possiamo anche scrivere quel vettore come C uguale a C di X per il versore X più C di Y per il versore Y più C di Z per il versore di Z. Vedremo molti eserci riguardanti questo prodotto vettoriale. Adesso veniamo al secondo metodo, che sarà come nel caso del prodotto scalare

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00:23:43,000 –> 00:24:28,000
un metodo geometrico. Fatemi provare a lavorare su questa lavagna di mezzo. Se conoscete i due vettori A e B, e conoscete l’angolo nel mezzo theta allora il prodotto vettoriale C = A x B ha modulo pari al prodotto del modulo di A per il modulo di B per il seno di theta, non più il coseno di theta come avevamo prima per il prodotto scalare. E’ il seno di theta.

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00:24:28,000 –> 00:24:52,000
Quindi potete immediatamente capire come questo sarà zero se theta equivale a zero o 180 gradi mentre il prodotto scalare si annullava quando l’angolo di mezzo era di 90 gradi. Questo numero può essere più grande di zero se il seno di theta è maggiore di zero. Può anche essere più piccolo di zero. Per il momento abbiamo solo il modulo del prodotto scalare e adesso viene la parte più difficile.

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00:24:52,000 –> 00:25:21,000
Qual è la direzione del vettore C? Questo è qualcosa che dovete scolpire nella vostra testa per non dimenticarlo mai. La direzione si trova nel seguente modo. Prendete A, perchè è menzionato per primo e ruotate A del minore angolo possibile fino a B. Se aveste nelle vostre mani un cavatappi – e ve lo mostrerò tra un minuto – e lo avvitate in senso orario da come vedete la lavagna dai vostri posti, il cavatappi ci entrerebbe dentro.

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00:25:21,000 –> 00:25:55,000
E se il cavatappi va dentro la lavagna voi vedreste la coda del vettore e quindi una croce, un piccolo segno positivo e per tanto lo disegniamo così. Un prodotto vettoriale è sempre perpendicolare ad entrambi A e B ma vi lascia con due scelte: può puntare fuori dalla lavagna oppure dentro la lavagna secondo la convenzione che vi ho appena illustrato. E voglio mostrarvelo in un modo che può farvi capire meglio.

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00:25:55,000 –> 00:26:32,000
Questo è quello che ho usato prima per la mia sessione televisiva di supporto che ho tenuto al MIT. Ho una mela – non una mela… Questo è un pomodoro…. Non un pomodoro è una patata. Ho una patata e qui ho un cavatappi. Questo è il cavatappi. Sto per girare il cavatappi in senso orario rispetto la vostra posizione. E vedete come il cavatappi entra dentro la patata – quella è quindi la direzione del vettore.

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00:26:32,000 –> 00:26:57,000
Se avessimo avuto B x A allora avremmo dovuto prendere B e ruotarlo sopra A dell’angolo più piccolo possibile. In questo caso avremmo dovuto girare in senso anti orario e girando in senso anti orario il cavatappi, questo esce fuori. Ecco vedete – quindi il vettore sta puntando in questa direzione. Se vettore punta verso di voi allora dovremmo disegnarlo come un cerchio con un puntino.

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00:26:57,000 –> 00:27:40,000
In altre parole per questo vettore B x A avremmo lo stesso modulo ma uscirebbe fuori dalla lavagna. Detto in altre parole A x B è uguale a meno B x A con il prodotto scalare di A con B e B con A sono identici. Incontreremo il prodotto vettoriale quando tratteremo le torsioni ed il momento angolare che non sono le parti più semplici di questo corso. Facciamo un esempio molto semplice.