MIT Meccanica Classica – Cinematica 3D, Prodotto Vettoriale e Scalare [Sub-Ita] 2/6

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00:08:10,000 –> 00:08:52,000
Questo procedimento è chiamato “scomposizione” di un vettore. Sarà molto importante per questo corso e voglio che seguiate questa parte con molta attenzione. Ho un vettore nello spazio tridimensionale. Questo è il mio asse Z, questo il mio asse X e quest’altro il mio asse Y. Questa è l’origine O, qui c’è un punto P e ho il vettore OP – è un vettore.

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00:08:52,000 –> 00:09:52,000
E cosa faccio adesso, proietto questo vettore sui tre assi X, Y e Z. Ognuno ha il suo modo di farlo. Ecco fatto. Chiamo questo vettore “Vettore A”. Adesso, questo angolo sarà “theta” mentre quest’altro sarà “phi”. Notate che la proiezione di A sull’asse Y ha un numero qui che chiamerò A di Y. Questo numero è A di X e quest’altro sarà A di Z. Semplicemente una proiezione del vettore sui tre assi.

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00:09:52,000 –> 00:10:23,000
Introduciamo adesso quello che chiamiamo “vettori unitari”. I vettori unitari puntano sempre nella direzione positiva degli assi ed il vettore unitario della direzione di X è questo qui. Ha lunghezza unitaria e lo indichiamo con X con un cappelletto sopra. Questo cappelletto indica sempre vettori unitari. Questo è il vettore unitario in Y e quest’altro in Z.

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00:10:23,000 –> 00:10:57,000
Adesso riscriverò il vettore A in termini delle tre componenti che ho trovato. Quindi il vettore A, lo scriverò come “A di X per X con il cappelletto più A di Y per Y con il cappelletto più A di Z per Z con il cappelletto”. E questo A di X per il vettore unitario di X è un vettore che parte dall’origine e arriva fino a qui. Quindi potremmo sostituirlo con un vettore se volete.

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00:10:57,000 –> 00:11:46,000
Questo è quel vettore. Oh scusate, questo è A di Z per il vettore unitario di Z. Quindi questi vettori verdi sommati danno esattamente il vettore OP, perciò abbiamo scomposto un vettore in tre direzioni. Vedremo come questo molto spesso durante il corso ci sarà di grande aiuto. Il modulo del vettore sarà la radice quadrata di A di X al quadrato più A di Y al quadrato più A di Z al quadrato.

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00:11:46,000 –> 00:12:25,000
Possiamo fare un semplice esempio. Per esempio prendo il vettore E – questo è solo un esempio – che sarà E di X uguale a 3 per X con il cappelletto meno cinque per Y con il cappelletto più sei per Z con il cappelletto. Questo significa che il vettore è di tre unità in questa direzione, cinque unità in questa direzione – nella direzione negativa di Y – e sei unità nella direzione positiva di Z.

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00:12:25,000 –> 00:12:50,000
Questo produce un vettore che chiamerò vettore A. Qual’è il modulo di quel vettore – che indico sempre con due segni verticali, certe volte lo indicherò con due segni verticali da un lato solo ma intenderò sempre il modulo oppure semplicemente non metterò la freccetta in cima, ma comunque mi piace andare sempre sul sicuro perchè in questo modo sapete con certezza che sto indicando il modulo.

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00:12:50,000 –> 00:13:14,000
Quindi quello sarà la radice quadrata di tre al quadrato che è nove, più cinque al quadrato che è venticinque più sei al quadrato che fa trentasei. Quindi abbiamo la radice di settanta. Credo di dovervi chiedere “Cos’è theta?” è univocamente definito ovviamente. Questo vettore è univocamente definito in un spazio tridimensionale per tanto dovreste essere in grado di trovare phi e theta.

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00:13:14,000 –> 00:14:00,000
Beh, il coseno di theta, vedete quest’angolo qui, è una proiezione a 90 gradi. Perciò il coseno di theta è uguale ad A di Z diviso per A stesso che nel nostro caso sarà sei diviso la radice quadra di settanta. Potete farlo tranquillamente. Si tratta semplicemente di manipolare un pò di numeri. Adesso arriviamo ad una parte sui vettori molto più complicata e si tratta della moltiplicazione fra vettori.

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00:14:00,000 –> 00:14:28,000
Non ne avremmo bisogno fino ad Ottobre ma ho deciso che possiamo togliercelo di mezzo adesso. Ora che abbiamo introdotto i vettori che abbiamo imparato a sommarli e sottrarli potete imparare benissimo pure come si moltiplicano. E’ come andare dal dentista. E’ un pò doloroso ma è un bene per voi e subito dopo il dolore sparisce. Quindi parleremo della moltiplicazione fra vettori, una cosa sui cui non torneremo fino ad ottobre.

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00:14:28,000 –> 00:15:07,000
Ci sono due modi per moltiplicare i vettori, il primo è chiamato “prodotto punto” solitamente chiamato “prodotto scalare”. A punto B, un grosso punto, è definito come A di X per B di X, che è solo un numero, più a A di Y per B di Y, che è un altro numero, più A di Z per B di Z che pure è un ennesimo numero. Questo è uno scalare. Non ha più una direzione. Questo è il prodotto scalare.

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00:15:07,000 –> 00:15:40,000
Quindi quello è il primo metodo. E’ completamente legittimo e potete sempre usarlo. C’è anche un altro modo per trovare il prodotto scalare dipende da quali dati conoscete – come si presenta il problema. Se qualcuno vi da il vettore A e voi avete il vettore B sapendo in qualche modo l’angolo fra i due, l’angolo theta – che non ha niente a che fare con l’angolo theta di prima è solo l’angolo fra i due vettori.

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00:15:40,000 –> 00:16:15,000
Allora il prodotto scalare è determinabile anche nel seguente modo e faremo una prova per dimostrarlo. Proiettate il vettore B su A. Questa è quella proiezione. La lunghezza di questo vettore è B per coseno di theta. E allora il prodotto scalare è il modulo di A per il modulo di B per il coseno di theta (l’angolo fra i due vettori A e B). I due sono completamente identici.

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00:16:15,000 –> 00:16:36,000
Ora, potreste chiedermi, potreste dirmi “Gee, come faccio a sapere quanto vale theta?” Come faccio a saperlo dovrei prendere quest’angolo come theta oppure dovrei prendere quest’altro? Voglio dire, qual è l’angolo che A forma con B? Non fa alcuna differenza perchè il coseno di quest’angolo qui è uguale al coseno di 360 gradi meno theta quindi non c’è alcuna differenza.

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00:16:36,000 –> 00:17:04,000
A volte questo metodo è il più veloce dipende da come si presenta il problema, mentre altre volte è più rapido l’altro metodo. Potete capire immediatamente osservando questa formula che il prodotto scalare può essere maggiore di zero, minore di zero oppure uguale a zero. A e B sono per definizione sempre positivi. Sono dei moduli. Quindi sarà sempre determinato dal coseno di theta.

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00:17:04,000 –> 00:17:25,000
Se il coseno di theta è maggiore di zero, beh, allora sarà maggiore di zero anche il prodotto scalare. Il coseno di theta può essere zero. Se l’angolo thete è uguale a pi greco mezzi, in altre parole, se i due vettori sono perpendicolari, allora il prodotto scalare sarà nullo. Invece se l’angolo è compreso fra 90 e 180 gradi allora il prodotto scalare sarà negativo.

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00:17:25,000 –> 00:17:55,000
Lo vedremo all’opera, senza troppi giochi di parole quando tratteremo del lavoro in fisica. Vedrete che potremmo avere un lavoro positivo oppure un lavoro negativo e questo dipenderà dal prodotto scalare. Lavoro ed energia sono prodotti scalari. Potrei farvi un esempio semplicissimo, il più semplice che mi viene in mente. Vi sembrerà quasi un insulto, ma non è così.

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00:17:55,000 –> 00:18:45,000
Supponiamo di avere il prodotto scalare di A con B ed A è il vettore che vedete sulla lavagna. Proprio qui, questo è A. Mentre B è due per Y con il cappelletto. Bene, cos’è A scalar B? Non c’è una componente X di B quindi quello diventa zero, questo termine rimane zero. C’è solo la componente Y di B quindi viene meno cinque più due perciò ottengo meno dieci, perchè non c’era una componente Z.