MIT Meccanica Classica – Cinematica 3D, Prodotto Vettoriale e Scalare [Sub-Ita] 1/6

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00:00:05,000 –> 00:00:25,000
La cattiva notizia per oggi è che bisognerà fare i conti con un pò di matematica, ma la buona notizia è che la tratteremo una volta sola e ci vorrà una mezz’oretta. Ci sono quantità in fisica che sono determinate solo da un unico numero. La massa è una di queste quantità. Un’altra è la temperatura. Pure la velocità scalare. Queste quantità le chiameremo “Scalari”.

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00:00:25,000 –> 00:00:44,000
Ci sono altre quantità che necessitano più di un numero per essere definite, per esempio nel moto unidimensionale, la velocità vettoriale ha un certo modulo – pari alla velocità scalare – insieme ad un verso che può essere in questa direzione o in quest’altra. Quindi deve essere specificata pure la direzione. La velocità è un vettore e l’accelerazione pure.

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00:00:44,000 –> 00:01:20,000
Oggi impareremo a lavorare con questi vettori. Un vettore ha una lunghezza ed una direzionem, per questo viene rappresentato con una freccia. Come avrete già visto tutti, questo è un vettore. Ricordatevelo – questo è un vettore. Se lo vedete di fronte, avrete un punto. Se lo vedete da dietro, avrete una croce. Questo è un vettore e questa sarà la nostra rappresentazione.

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00:01:20,000 –> 00:02:05,000
Immaginate che io mi trovi in piedi sul tavolo in 26.100. Questo è il tavolo, e diciamo che io mi trovo nel punto O e che mi sposto in linea retta dal punto O al punto P. Qui è dove mi trovo sul tavolo e qui è dove mi vedreste da 26.100. In qualche modo succede che qualcuno sposta il tavolo, da qui a qui. Quindi questo significa che il mio tavolo è stato spostato verso il basso.

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00:02:05,000 –> 00:02:39,000
e così anche il mio punto P perciò adesso mi vedrete nel punto S. Voi mi vedrete nel punto S in 26.100 anche se io mi troverò in piedi nello stesso punto di prima sul tavolo. Il tavolo si è mosso. E’ questa ora la posizione del tavolo. Vedete, l’intero tavolo si è spostato. Ora, se questi due spostamenti avvengono simultaneamente quello che vedrete da dove siete seduti

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00:02:39,000 –> 00:03:23,000
sarà io che mi muovo in linea retta dal punto O al punto S. Questo cela il segreto della somma di due vettori. Diremo che il vettore OS – e ci metteremo una freccia sopra – è uguale al vettore OP, sempre con una freccia in cima, sommato al vettore PS. Questo definisce come sommare i vettori. Ci sono vari modi per sommare dei vettori. Supponiamo di avere qui un vettore A e un altro vettore B.

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00:03:23,000 –> 00:04:00,000
Allora potrete sommarli in questo modo che io chiamo tecnica “testa-coda”. Prendo la coda di B e l’attacco alla testa di A. Quindi questo è B, è un vettore ed il risultato netto sarà A più B. Questo vettore C è uguale alla somma di A con B. Questo un modo di farlo. Non importa da dove prendete B… Se prendete la coda di B e la testa di A o viceversa. Otterrete sempre lo stesso risultato.

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00:04:00,000 –> 00:04:42,000
C’è anche un altro modo di farlo, che chiamo “il metodo del parallelogramma”. Qui avete il vettore A. Mettete le due code insieme, perciò qui c’è B ora e quindi le code si toccano e potete completare il parallelogramma. Quindi il vettore C è la stessa somma vettoriale che avevate qui, qualsiasi modo preferiate. Vedete immediatamente come A più B sia uguale a B più A. Non c’è alcuna differenza.

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00:04:42,000 –> 00:05:17,000
Qual’è il significa di vettori negativi? Beh, A meno A uguale a zero – il vettore A sottratto al vettore A equivale a zero. Quindi qui abbiamo il vettore A. Quale vettore di aggiungere per ottenere zero? Devo addizionare meno A. Beh, se usate la tecnica testa-coda, questo è A, dovete aggiungere questo vettore per ottenere zero quindi questo è meno A e perciò meno A non è nient’altro che

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00:05:17,000 –> 00:06:05,000
lo stesso vettore A ma ruotato di 180°. Lo useremo molto spesso. Questo ci porta alla questione su come sottarre i vettori? Avremo A meno B uguale a C. Qui abbiamo il vettore A e qui abbiamo – fatemelo scrivere qui sotto – qui abbiamo il vettore B. Un modo di vederla è questo. Possiamo dire che A meno B è uguale ad A più, meno B – sappiamo come addizionare i vettori e sappiamo cos’è meno B.

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00:06:05,000 –> 00:06:48,000
Meno B è lo stesso vettore B ma ruotato di 180° quindi mettiamo qui meno B e perciò questo vettore adesso è uguale ad A meno B. Questo è il vettore C, A meno B. Ovviamo, potete farlo in modi diversi. Potete pure pensare a C più B uguale A. Giusto? Potete prendere questo e portarlo dall’altra parte. Potete dire C più B è uguale ad A… C più B è uguale ad A. In altre parole, quale vettore devo

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00:06:48,000 –> 00:07:13,000
aggiungere a B per ottenere A? E allora avrete di nuovo da usare la tecnica del parallelogramma. Ci sono molti modi di farlo. La tecnica testa-code è però quella più facile e rapida. Quindi potete aggiungere un numero qualsiasi di vettori, uno più l’altro, ed il seguente e avrete finalmente la somma di cinque o sei o sette vettori che potrà essere rappresentata da un vettore solo.

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00:07:13,000 –> 00:07:38,000
Quando sommate degli scalari, per esempio, cinque e quattro allora avrete una sola risposta, cioè nove. Cinque più quattro fa nove. Supponiamo di avere due vettori. Non abbiamo alcuna informazione sulla loro direzione ma sapete che il modulo del primo è quattro mentre il modulo del secondo è cinque. E’ tutto quello che sapete. Quindi il modulo del vettore somma sarà nove, se sono equiversi.

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00:07:38,000 –> 00:08:10,000
Oppure il modulo sarà uno se sono discordi. Perciò ci sono molte possibilità perchè non conoscete la direzione. Quindi l’addizione e la sottrazione di vettore sono più complicate che per gli scalari. Come abbiamo visto, la somma di vettori può essere rappresentata da un unico vettore, ugualmente possiamo prendere un vettore e rappresentarlo come la somma di altri.

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00:08:10,000 –> 00:08:52,000
Questo procedimento è chiamato “scomposizione” di un vettore. Sarà molto importante per questo corso e voglio che seguiate questa parte con molta attenzione. Ho un vettore nello spazio tridimensionale. Questo è il mio asse Z, questo il mio asse X e quest’altro il mio asse Y. Questa è l’origine O, qui c’è un punto P e ho il vettore OP – è un vettore.

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00:08:52,000 –> 00:09:52,000
E cosa faccio adesso, proietto questo vettore sui tre assi X, Y e Z. Ognuno ha il suo modo di farlo. Ecco fatto. Chiamo questo vettore “Vettore A”. Adesso, questo angolo sarà “theta” mentre quest’altro sarà “phi”. Notate che la proiezione di A sull’asse Y ha un numero qui che chiamerò A di Y. Questo numero è A di X e quest’altro sarà A di Z. Semplicemente una proiezione del vettore sui tre assi.