MIT Meccanica Classica – Cinematica 1D, Accelerazione e Velocità 5/6

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00:34:10,000 –> 00:34:45,000
Provate ad immaginare quello che sta succedendo solo così potete capire davvero. Solo allora comincerete a focalizzarlo bene in testa. Adesso vorrei scrivere, in un maniera più generica, le equazioni dello spazio e della velocità come funzioni del tempo per un moto unidimensionale con accelerazione costante. Quindi avremo ancora una dimensione con l’accelerazione che sarà costante.

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00:34:45,000 –> 00:35:20,000
Perciò l’equazione che sto per scrivere è l’equazione più generica che si possa avere. Quindi avremo X uguale un qualche numero C con 1 più un qualche valore C con 2 per T più un C con tre per T al quadrato. Notate – oh, ho già cancellato il mio esempio. L’esempio è andato ma vi ricordate che questo era un otto prima, quest’altro era – cosa avevamo qui? Meno… avevamo un meno sei – e un meno 1 per T al quadrato. Quindi avete riconosciuto quei tre…

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00:35:20,000 –> 00:36:10,000
Adesso posso svolgere le derivate per ottenere la velocità uguale a C con due più 2 per C con tre per T, e l’accelerazione a uguale 2 per C con tre. Adesso cercheremo di capire meglio queste quantità. C con uno è la posizione di X all’istante T uguale a zero, che di solito si indica con X con zero perchè quando T è zero, quello è il punto X in cui l’oggetto si trova. C con due è la velocità all’istante T uguale a zero perchè quando T è zero la velocità è C con due.

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00:36:10,000 –> 00:36:43,000
E l’accelerazione adesso non sta cambiando col tempo. Per tanto C con tre equivale a metà dell’accelerazione. Quindi questo vi da una prospettiva migliore del significato di queste quantità e potete leggerne la fisica. C1, C2 e C3 possono essere indipendentemente nulli, maggiori di zero o negativi. Non fa alcuna differenza, ognuna di quelle combinazioni è una valida possibilità in fisica.

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00:36:43,000 –> 00:37:13,000
Quando abbiamo gravità un oggetto è influenzato dall’accelerazione gravitazionale e questa accelerazione è una costante. Spesso indicheremo l’accelerazione gravitazionale con la lettera “g”. Sia che lascio cadere un oggetto o lo lancio verticalmente in su o in giù, avremo sempre un moto unidimensionale. Diventa bidimensionale quando lo lancio con un certo angolo.

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00:37:13,000 –> 00:37:54,000
Per ora lo mantengo unidimensionale, l’accelerazione è sempre la stessa e quella g – accelerazione gravitazionale – a Boston vale 9.80 metri al secondo quadrati e varia di poco in diversi punti dela Terra. Questa accelerazione gravitazionale è indipendente dalla massa dell’oggetto che lascio cadere, dalla velocità dell’oggetto, dalla sua composizione chimica, dalle dimensioni, dalla forma, supponendo che non ci sia aria ossia supponendo di essere nel vuoto.

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00:37:54,000 –> 00:38:40,000
E’ ovvio che l’accelerazione gravitazionale è indipendente da tutti questi parametri? Sicuramente no. E’ vero? Noi ci crediamo, ma vorrei che voi capiste che non è una cosa ovvia e che non può essere dimostrato con i primi principi. Ricordate, l’ultima volta che abbiamo lasciato cadere una mela da 3 metri ed un altra da 1.5 metri e come vostro secondo esercizio, vi chiedo di calcolare l’accelerazione G usando quei due esperimenti. E ovviamente voglio sapere qual è l’incertezza sul risultato finale.

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00:38:40,000 –> 00:39:20,000
Vorrei darvi una mano per impostare il problema e anche per riscrivere queste equazioni in termini di G. Ogni volta che abbiamo a che fare con la gravità, dobbiamo avere una G nelle equazioni. Quindi supponiamo di avere un oggetto in questo punto all’istante T uguale a zero. Questa era la mela, e chiamerò quella posizione X con zero. Sono libero di scegliere il mio punto zero. E la velocità nel punto zero è nulla. L’oggetto cade e colpisce il pavimento.

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00:39:20,000 –> 00:40:10,000
Bene adesso veniamo alle equazioni generali con la gravità G. Scelgo questo come l’incremento di X, potete pure sceglierne uno diverso. Questa è la mia scelta per oggi. Avremo quindi X uguale a x con zero più V con zero per T più un mezzo G per T al quadrato, avendo G = 9.80 metri al secondo quadrato. Inoltre avremo la velocità V uguale a V con zero più G per T e l’accelerazione che è costante uguale proprio a G.

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00:40:10,000 –> 00:40:37,000
Ora nel mio caso ho scelto T uguale a zero e perciò X è uguale a zero e così anche la velocità per tanto questi termini spariscono. E quindi vedete che quando l’oggetto si trova in questo punto, cioè tre metri sotto il punto di partenza, e conoscete il tempo impiegato per arrivarci, allora potete calcolare G. Avremo X uguale a tre metri, poi avevamo misurato in classe il tempo di caduta, perciò conoscete pure T e potete calcolare G.

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00:40:37,000 –> 00:41:13,000
E potete farlo usando i dati di entrambi gli esperimenti e ovviamente dovete anche dirmi qual’è l’incertezza nelle misurazioni. Ricordate che l’ultima volta avevamo ottenuto T uguale a C per la radice di H su G e non abbiamo mai scoperto cosa fosse C. Vi ho fatto una dimostrazione per mostrarvi come il tempo fosse proporzionale alla radice quadrata di H. Non abbiamo studiato cosa fosse quella C. Adesso lo sapete, perchè ora avete le equazioni qui e potete vedere come C è semplicemente la radice quadrata di 2.

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00:41:13,000 –> 00:41:50,000
Non potevo ricavarlo solamente dalla mia analisi dimensionale. Adesso voglio che vi rilassiate e al tempo stesso che stiate in allerta per un piccolo cambiamento. Osservate questa situazione, V uguale a G per T. Questo significa che quando lascio cadere una mela – e ne lascerò cadere un altra oggi – la velocità aumenta col tempo. Quindi se fotografo la mela in caduta, posso osservare che la distanza fra i vari scatti aumenta a causa dell’aumento della velocità con il passare del tempo.

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00:41:50,000 –> 00:42:44,000
Qui ho una mela e la metterò a circa tre metri di altezza rispetto al pavimento – quindi l’altezza sarà di approssimativamente tre metri. Sappiamo dall’ultima volta, ricordate, che per toccare il suolo impiega 780 millisecondi. L’arrotonderò a 0.8 secondi solo per averne un idea. Se fotografo la mela due volte al secondo – che chiamiamo 2 hertz, quindi la macchinetta scatta 2 volte al secondo. Allora dovrei fotografare la mela, due volte durante la caduta.

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00:42:44,000 –> 00:43:20,000
Non so dove si trova, perchè il tempo di scatto e di inizio caduta non sono sincronizzati, perciò è possibile che la prima volta che la luce colpisce la mela questa si trova qui mentre al secondo scatto qua. Ma anche possibile che la prima volta si trova qui e la seconda in quest’altro punto. Mi direte voi dove la vedete, faremo pure delle foto che ci mostreranno esattamente dove si trova la mela in quei due istanti diversi.