MIT Meccanica Classica – Cinematica 1D, Accelerazione e Velocità 4/6

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00:25:54,000 –> 00:26:30,000
Ci spostiamo al nostro grafico e ci facciamo questa domanda ora: dov’è nulla l’accelerazione, dov’è positiva e dov’è negativa? Perchè può assumere valori positivi, negativi e nulli. Dovete fare molta attenzione adesso perchè ne io ne voi abbiamo un buon rapporto con le derivate seconde – la velocità è semplice, tutto che bisogna fare è osservare l’angolo alfa – ma quando ci sono derivate seconde dovete osservare come cambia alfa.

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00:26:30,000 –> 00:27:10,000
Beh, proprio qui, la velocità non sta cambiando quindi l’accelerazione ovunque in questo punto deve essere nulla. Qui la velocità sta aumentando quindi l’accelerazione deve essere positiva. Qui la velocità è quasi costante – è quasi una linea retta. Cosa significa per l’accelerazione? Zero, esattamente. Qui, quando percorre questa curva arrotondata la velocità è positiva qui ma da quest’altro lato è negativa quindi cosa significa per l’accelerazione?

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00:27:10,000 –> 00:28:05,000
E’ negativa, l’avete capito. Quindi ora potete approssimativamente trovare i punti dove l’accelerazione è negativa, positiva e nulla. Facciamo un esempio diretto, qualcosa simile a quello che potreste avere come esercizio o se siete fortunati proprio all’esame. Un esempio molto diretto. Vi darò la posizione di X come una funzione del tempo e quindi vi farò un pò di domande a riguardo. Quindi questo è l’esempio, X = 8 – 6t + t^2.

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00:28:05,000 –> 00:28:48,000
Questa equazione vi dice dove si trova l’oggetto in ogni istante di tempo, facciamo che sia data la posizione in metri. Qual è ora la velocità in ogni istante di tempo? Beh, è la derivata dX/dT e userò il seguente modello – X uguale a T elevato a N, la cui derivata come tutti voi dovreste sapere è N per T elevato a N-1. E’ tutto quello che userò. Quindi la derivata di otto è zero. Ottengo qui meno sei e qui più 2T – questo sarà in metri al secondo.

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00:28:48,000 –> 00:29:33,000
Per l’accelerazione devo prendere la derivata della velocità, ottengo più due. Quindi notate che l’accelerazione è costante rispetto al tempo, mentre la velocità varia. Beh, all’istante T uguale a zero – giusto per fare un piccolo test, voglio cercare di capire cosa sta facendo quest’oggetto – in T uguale a zero, x è uguale a più otto, la velocità vale meno sei e l’accelerazione è più due. Posso anche chiedermi per quali istanti ottengo X uguale a zero?

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00:29:33,000 –> 00:30:10,000
Beh, devo risolvere quest’equazione del secondo ordine che è qualcosa che voi avrete già fatto alle superiori e troverete che sono i casi in cui T è uguale a più due e T uguale a più quattro. Prendete il 2 che rende questo uguale a 4, quattro più otto è dodici, dodici meno sei per due viene zero. Quindi vedete che con 2 il risultato è giusto e anche con quattro la cosa funziona. Giusto per curiosità, quand’è che la velocità è nulla? Oh, è semplice.

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00:30:10,000 –> 00:31:00,000
E’ zero quando questa equazione è nulla e quindi per T uguale a tre. Qual è la posizione in quell’istante? Beh, sostituisco T uguale a tre e risulta meno uno. X = -1. Perciò ora sono pronto per disegnare il grafico di X in funzione di T. E’, ovviamente, una parabola e uso queste informazioni che abbiamo appena ottenuto. Quindi ecco il mio grafico. Usiamo questo come incremento di X, qui mettiamo otto mentre qui sotto meno uno. Questo è l’asse dei tempi.

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00:31:00,000 –> 00:31:47,000
Qui ho zero, poi voglio coprire fino a sei secondi quindi avrò 1,2,3,4,5,6. Adesso utilizzerò queste informazioni in modo da potervi disegnare la curva che sarà simile a quell’altra ad eccezione del fatto che questa è molto più semplice, è solo una parabola. Sappiamo che al tempo T uguale a zero l’oggetto si trova in posizione X uguale ad otto. Inoltre so che l’oggetto si trova in posizione X uguale zero negli istanti T uguale due e quattro perciò si troverà qui in quegli istanti.

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00:31:47,000 –> 00:32:32,000
So pure che all’istante T uguale 3 l’oggetto si trova in X uguale -1 perciò si troverà qui. Inoltre la velocità è nulla perciò possiamo controllare. E quindi se disegno questo grafico ora otterremmo una curva di questo tipo e si, infatti, notate come la velocità sia nulla in questo punto. L’angolo alfa è nullo. L’oggetto parte da T uguale a zero con velocità negativa. Potete vederlo – l’oggetto per T uguale a zero si trova qui. Qui è dove si trova l’oggetto spero che l’abbiate capito.

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00:32:32,000 –> 00:33:05,000
Questa è strada, la traiettoria unidimensionale che percorre l’oggetto. Si trova qui e poi si muove in questa direzione. Se comincia a percorrere questa direzione la velocità deve essere per forza negativa e difatti lo è, vale meno sei. Ma c’è anche l’accelerazione che vale più due in questa direzione. L’accelerazione sta dicendo “Non voglio che ti muovi verso il basso. Voglio che sali!” Beh, la velocità risponde “Mi dispiace ma tutto quello che posso fare è cambiare molto lentamente”.

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00:33:05,000 –> 00:33:37,000
Ed è quello che sta facendo, sta lentamente cambiando la velocità fino ad un punto in cui si annulla perciò l’oggetto si muove verso il basso, la velocità cambia e quando si trova nella posizione X uguale meno uno riceve un “alt obbligatorio” per poi ritornare. Il valore positivo dell’accelerazione sta ora incrementando la velocità ed è quello che vedete. Per tanto ci scommetto un nichelino che se sostituisco, in quella equazione, T uguale a 4 ottengo un valore positivo.

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00:33:37,000 –> 00:34:10,000
Ha cambiato il segno negativo con il segno positivo a causa di questa accelerazione positiva. Scommetto un nichelino che T risulta uguale a quattro. Qual è la velocità? Vogliamo conoscere la velocità. 8-6+2 metri al secondo. Vedete? La fisica funziona – la velocità adesso è +2 metri al secondo. Quindi tutte le informazioni si trovano li dentro ma voglio che siate capaci di tirarle fuori. Non guardate quella curva solo come una stupida parabola.

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00:34:10,000 –> 00:34:45,000
Provate ad immaginare quello che sta succedendo solo così potete capire davvero. Solo allora comincerete a focalizzarlo bene in testa. Adesso vorrei scrivere, in un maniera più generica, le equazioni dello spazio e della velocità come funzioni del tempo per un moto unidimensionale con accelerazione costante. Quindi avremo ancora una dimensione con l’accelerazione che sarà costante.