MIT Algebra Lineare – La Geometria di equazioni lineari 1/4

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00:00:08,000 –> 00:00:25,000
Salve. Questa è la prima lezione del corso MIT 18.06, algebra lineare e io sono Gilbert Strang. Il testo per il corso è questo libro, “Introduzione all’Algebra Lineare”.

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00:00:25,100 –> 00:00:45,000
E il sito del corso, in cui potete trovare tanti esercizi del passato, codici di Matlab e il programma del corso è web.mit.edu/18.06.

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00:00:45,100 –> 00:01:05,000
E questa è la prima lezione.
Quindi, in seguito vi daremo l’indirizzo internet per vedere queste video registrazioni. Ok, quindi, cosa faremo in questa prima lezione? Questo è il mio piano.

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00:01:05,000 –> 00:01:26,000
Il problema fondamentale dell’algebra lineare è quello di risolvere un sistema di equazioni lineari.
Quindi partiamo con il caso in cui abbiamo un numero di equazioni, ossia “n” equazioni e “n” incognite. Perciò un numero identico di equazioni e incognite.
Questo è il caso più semplice.

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00:01:26,000 –> 00:01:48,000
E quello che voglio fare è – con esempi, ovviamente – descrivere, prima, quello che chiamo “Schema a Righe”. E’ lo schema con una equazione alla volta. Quello che già conoscete con equazioni due a due dove le rette si incontrano.
Quindi fra poco, vedrete le rette incontrarsi.

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00:01:48,000 –> 00:02:05,000
Il secondo schema lo indico con un asterisco dietro, perché è molto importante.
Ed è possibile che per voi sia nuovo questo schema con una colonna alla volta.
E quelle sono le righe e le colonne di una matrice.

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00:02:05,000 –> 00:02:25,000
Quindi il terzo – il modo algebrico di vedere i problemi è quello delle matrici e userò una matrice che chiamerò matrice A.
Ok, quindi posso fare un esempio? Per l’intero semestre farò degli esempi e partendo da questi vedremo cosa succede.

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00:02:25,000 –> 00:03:05,000
Ok, prendiamo per esempio due equazioni  e due incognite:   2x-y=0   e   –x+2y=3.
Ok,  posso dire anche subito qual è la matrice. Qual è la matrice dei coefficienti? La matrice che riguarda questi numeri.  Una matrice è solo un array rettangolare di numeri.

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00:03:05,000 –> 00:03:32,000
Questa è formata da 2 righe e 2 colonne. Nella prima riga abbiamo 2 e -1 mentre nella seconda -1 e 2. Questa è la matrice.
Alla destra invece abbiamo la matrice delle incognite, beh abbiamo due incognite. Quindi abbiamo un vettore, con due componenti (incognite), “x” e “y” e l’altro con due termini noti, 0 e 3.

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00:03:32,000 –> 00:03:53,000
Non ho resistito nello scrivere la forma matriciale prima degli altri schemi. Quindi io mi riferirò sempre a questa come la matrice A, la matrice dei coefficienti, poi c’è il vettore delle incognite.
In questo caso particolare abbiamo solo 2 incognite ma in seguito ne avremo un numero qualsiasi.

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00:03:53,000 –> 00:04:20,000
E il vettore delle incognite lo indicherò con “X” mentre il vettore seguente lo chiamerò “b” (vettore dei termini noti).
Quindi le equazioni lineari sono del tipo A X = b e l’idea ora è quella di risolvere questo particolare esempio per poi fare un passo indietro per vedere il quadro completo.

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00:04:20,000 –> 00:04:52,000
Qual è lo schema per questo esempio? Lo schema a righe, quindi qui entra in gioco lo schema a righe.
Questo significa che prenderò una riga alla volta. Sto disegnando qui il piano XY e traccerò tutti quei punti che soddisfano la prima equazione. Quindi sto cercando quei punti che soddisfano l’equazione 2x-y=0.

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00:04:52,000 –> 00:05:18,000
E’ sempre utile cominciare con i punti sull’asse orizzontale – su quest’asse orizzontale, y è zero.
L’asse x ha y uguale a 0 e in questo caso anche x è zero. Questo punto, l’origine – è il punto con coordinate (0,0). Questo punto è soluzione dell’equazione.

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00:05:18,000 –> 00:05:40,000
Ok, ditemi – beh credo che dovrò indicarvi anche un altro punto che risolve la stessa equazione.
Supponiamo x=1 allora y dovrà essere uguale a 2, giusto? Ecco quindi l’altro punto (1,2) che risolve l’equazione.

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00:05:40,000 –> 00:05:55,000
E potrei trovare molti altri punti. Ma lasciatemi trovare tutti questi punti in un colpo solo, perché questi giacciono su una retta. Questa è una equazione lineare e questa parola, “lineare”, contiene proprio la parola “linea”. [intende “retta”]

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00:05:55,000 –> 00:06:21,000
Questa è la retta delle soluzioni di 2x-y=0 la mia prima riga, la prima equazione.
Quindi, x=1/2 e y=1 dovrebbe funzionare e quasi sicuramente funziona.
Ok, quella è la prima. Adesso la seconda non passerà per l’origine.

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00:06:21,000 –> 00:06:36,000
E’ sempre importante sapere se passiamo attraverso l’origine o meno. In questo caso, si, perché c’è uno zero proprio li. In quest’altro caso non passiamo attraverso l’origine, perché se x e y sono uguali a zero, non abbiamo tre.

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00:06:36,000 –> 00:06:55,000
Quindi fatemi ancora supporre che y sia uguale a zero, quale valore di x troviamo? Se y è uguale a zero, avrò che x è uguale a -3. Quindi se y uguale a zero, ottengo -3. Quindi c’è un punto su questa seconda retta (-3,0).

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00:06:55,000 –> 00:07:18,000
Adesso supponiamo che x sia -1, solo per prendere un’altra x qualsiasi. Se x è uguale a -1 allora qui abbiamo 1 e credo che y debba essere 1, perché se x è -1, allora credo che y debba essere 1 e quindi abbiamo il nostro punto.

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00:07:18,000 –> 00:07:36,000
E’ giusto? Se x è -1 allora questo è 1, mentre se questo è 1 abbiamo un 2 e 1+2 fa 3. Quindi   (-1,1) è un punto della retta. Ok, adesso devo solo disegnare la linea che congiunge questi due punti e otterrò tutta la retta.

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00:07:36,000 –> 00:08:10,000
E se ho disegnato bene, credo che passerà attraverso – beh, non succede – adattiamoci al disegno per far passare la linea attraverso quel punto. Quindi la seconda linea è questa qui, e questo è lo zero importante che giace su entrambe le rette. Ossia il punto (1,2). Questo è il punto che risolvere entrambe le equazioni.

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00:08:10,000 –> 00:08:36,000
Proviamo a dimostrarlo. Se x è uguale a 1, ottengo un -1+4=3, ok. Scusatemi per aver disegnato questo schema che già conoscete. Ma questo – vedere la schema a righe – prima di tutto, per n=2, due equazioni e due incognite, è il modo migliore per iniziare. Ok.

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00:08:36,000 –> 00:08:56,000
Quindi abbiamo la soluzione il punto che giace su entrambe le rette. Adesso posso passare allo schema a colonne? Fate attenzione, questo è il punto chiave. Quindi lo schema a colonne. Adesso andrò ad osservare le colonne della matrice. Andrò a guardare questa parte e quest’altra.

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00:08:56,000 –> 00:09:32,000
Dirò che la parte con x è davvero x per il vettore colonna composto da 2 e -1 sommato a y che moltiplica il vettore colonna composto da -1 e 2 tutto uguale al vettore colonna 0 e 3. Vedete le colonne della matrice? Le colonne di A sono qui mentre la colonna di b sta li.

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00:09:32,000 –> 00:10:00,000
Adesso qual è l’equazione richiesta? Ci sta chiedendo di trovare, di combinare in qualche modo questo vettore e quest’altro nel modo appropriato al fine di ottenere quello li.  Ci sta chiedendo di trovare l’esatta equazione lineare. Questa è chiamata combinazione lineare ed è l’operazione fondamentale dell’intero corso.