MIT Algebra Lineare – Moltiplicazioni di matrici e inverse 1/5

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www.mit-subita.com: Algebra Lineare – Moltiplicazioni di matrici e inverse [Terza Lezione]

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Abbiamo già svolto moltiplicazioni fra matrici, ma adesso dobbiamo discutere delle regole. La parte interessante è il numero di strade diverse che portano comunque allo stesso risultato. Sono tutte importanti. Quindi moltiplicazioni fra matrici e poi verranno le inverse. Abbiamo menzionato l’inversa di una matrice… Una cosa un pò complicata.

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Ci sono molte cose da fare con le inverse e su come trovarle. Ok, quindi inizierò con come si moltiplicano due matrici. Prima strada, ok, supponiamo di avere una matrice A che moltiplica una matrice B e che il loro risultato sia la matrice C, A volte B. Ok adesso lasciatemi ripassare le regole per questo valore.

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00:01:18,000 –> 00:01:45,000
Questo è il valore nella riga i e colonna j. Quindi è la posizione i,j. Proprio li c’è C di i,j. Scriviamo sempre prima il numero della riga e poi quello della colonna. Per esempio posso prendere C di 3,4 giusto per specificare meglio. Quindi al posto di i,j fatemi usare dei numeri. C di 3,4. Da dove salta fuori il valore in 3,4?

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00:01:45,000 –> 00:02:20,000
Viene dalla riga tre, qui, riga tre e colonna quattro, come sapete. Colonna quattro. E posso scrivere direttamente il risultato o posso scrivere la formula per questo valore C 3,4. Se osserviamo l’intera riga e l’intera colonna, la formula più veloce per me è prendere la riga tre di A – Posso usare un punto per il prodotto scalare, non lo userò molto spesso però -

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e farne il prodotto scalare con la quarta colonna di B. Ma questa scrittura ci da la possibilità di usare una piccola notazione matriciale. Quali sono i suoi valori? Qual’è questo primo valore nella terza riga? Il numero che risiede proprio li è… La matrice A ha due indici e quali sono? 3,1. Quindi li va posto il valore nella posizione 3,1.

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00:02:51,000 –> 00:03:30,000
Adesso cosa c’è in cima alla colonna quattro? Cos’è risiede proprio li? B 1,4… Giusto. Quindi questo prodotto scalare inizia con A 3,1 per B 1,4. E allora cosa c’è dopo – è come se stessi accumulando questa somma, poi viene il prossimo valore, A 3,2, seconda colonna, per B 2,4, seconda riga. Quindi è A 3,2 per B 2,4 più il resto…

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00:03:30,000 –> 00:04:10,000
Alleniamoci con gli indici. Oh, abituiamoci pure ad usare l’operatore di sommatoria. Per la maggior parte del corso utilizzerò i vettori. Molto raramente mi spingerò nei dettagli di questi particolari valori, ma per ora è meglio farlo. Quindi questa è una specie di somma, ok? La somma di A riga tre e colonna K per b riga K e colonna quattro.

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00:04:10,000 –> 00:04:37,000
State vedendo come sia la stessa cosa di quello avevamo scritto qui? In questo caso K vale 1, qui K vale 2 e così via – perciò la somma procede per tutte le righe e le colonne . diciamo da uno a N. Quindi questo è l’aspetto del valore nella posizione C 3,4. La somma di A 3,K per B K,4. Fate un pò di pratica con lo svolgimento.

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00:04:37,000 –> 00:05:13,000
Ok, adesso devo chiedervi – Quand’è possibile moltiplicare queste matrici? Se non sono necessariamente quadrate, perchè se lo sono hanno le stesse dimensioni, allora possono essere rettangolari e avere dunque dimensioni diverse. Io penso sempre alla matrice A come una MxN. M righe e N colonne. Quindi quella somma arriva ad N.

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00:05:13,000 –> 00:05:30,000
Qual’è il punto? Quante righe deve avere B? N. Il numero degli elementi che incontriamo in questa colonna di B deve essere uguale al numero di elementi che incontriamo in questa riga di A. Quindi la matrice B deve essere N x qualcosa, ipotizziamo P.

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00:05:30,000 –> 00:06:08,000
Quindi il numero delle colonne qui deve essere uguale al numero delle righe li e perciò qual’è il risultato? Qual’è la dimensione della matrice risultante C? Beh, avrà M righe e P colonne. Sarà una matrice M x P. Ok. Quindi ci saranno M per P elementi al suo interno e ognuno ha quell’aspetto. Ok, questa è la regola Standard.

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00:06:08,000 –> 00:06:58,000
Quello è il modo in cui la gente moltiplica le matrici. Lo faccio anche io così. Ma voglio parlarvi di un altro modo di vedere quel calcolo, osservando tutte le colonne e tutte le righe. Okay. Posso usare ancora A, B e C? A x B = C ancora? Fatemelo scrivere qui. Quindi qui avremo A ancora per B risultando in C.

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00:06:58,000 –> 00:07:28,000
E ancora questa è una M x N. Questa è una N x P e questa è la M x P. Okay. Adesso voglio osservare tutte le colonne. Questo è il secondo modo per moltiplicare le matrici. Sto costruendo su quello che già sappiamo. Come moltiplico una matrice per una colonna? Conosco il modo di moltiplicare questa matrice per quella colonna.

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00:07:28,000 –> 00:07:50,000
Dovrei chiamarla colonna uno? Quest mi genera la prima colonna del nostro risultato. La matrice per quella prima colonna è proprio quella prima colonna. Perchè nessuno di questi valori vanno a finire in questa prima parte del nostro risultato. La matrice per la seconda colonna è la seconda colonna del nostro risultato.

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00:07:50,000 –> 00:08:24,000
Capite quello che vi sto dicendo? Che posso moltiplicare una matrice per un vettore, che già so come fare e posso pensare solo a P colonne messe una accanto all’altra, e moltiplico A per ognuna di quelle. Ottenendo le P colonne del risultato. Questo è un modo molto utile di pensare al prodotto fra matrici.

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00:08:24,000 –> 00:09:00,000
La moltiplicazione fra matrici funziona quindi posso immaginare di avere più colonne, che si moltiplicano per A e generano le colonne della matrice risultante. Quindi per esempio, qui c’è la colonna uno e quello che finisce da questa parte è A per la colonna uno. Ok. Quindi una colonna alla volta. Cosa mi dice riguardo le colonne?

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00:09:00,000 –> 00:09:50,000
Queste colonne di C sono una combinazione di quelle della matrice A. Ognuna di queste deriva dal prodotto di A per questa e A per un vettore è una combinazione delle colonne di A. Ha senso perchè le colonne di A hanno dimensione M e pure le colonne di C hanno dimensione M e tutte le colonne di C sono una qualche combinazione delle colonne di A.