MIT Algebra Lineare – Metodo di eliminazione sulle matrici 5/5

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00:39:21,000 –> 00:40:22,000
Lo scriverò qui sotto e poi lo nasconderò ancora. Ok. Supponiamo che avessi avuto la mia matrice a,b,c,d e volessi porre a,c qui e b,d qua. Quale matrice svolge questo lavoro? Posso moltiplicare – posso trovare una qualche matrice che produca quel risultato? E potete capire da dove sto tenendo le mani, che quello che vi sto davvero chiedendo è se posso mettere la matrice che scambierà le colonne qui sulla sinistra. La risposta è no. Sto solo ripetendo ancora il punto che quando moltiplico sulla sinistra, sto svolgendo operazioni con le righe.

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00:40:22,000 –> 00:40:58,000
Quindi se dovessi fare un operazione con le colonne, dove dovrei mettere la matrice di permutazione? Sulla destra. Se la piazzo qui, dove ho lasciato dello spazio per questo motivo – scambio le due colonne della matrice identità. Ora stiamo facendo bene perchè adesso stiamo moltiplicando una colonna alla volta. Questa è la prima colonna – non prende niente di questa colonna mentre prende uno di quell’altra e si ottiene questo risultato. Qui invece questa colonna ci dice di prendere uno di questa colonna e niente dell’altra perciò otteniamo a,c.

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00:40:58,000 –> 00:42:03,000
Quindi in breve, per svolgere delle operazioni fra colonne, la matrice moltiplica dalla destra. Per svolgere operazioni con le righe, la matrice moltiplica dalla sinistra. Ok, ok, e noi ci stiamo occupando delle operazioni con le righe. E ovviamente, già l’ho detto prima, ma è sempre meglio dirlo chiaramente che non si può scambiare l’ordine delle matrici. E questo è il punto su cui sono voluto tornare ancora. A per B non è la stessa cosa di B per A. Dovete lasciare le matrici nell’ordine originale, ok? Ma potete muovere le parentesi, quindi in altre parole la proprietà commutative per le matrici non è valida.

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00:42:03,000 –> 00:43:20,000
Quindi dobbiamo mantenerle nell’ordine dato. Ok. Cosa dobbiamo fare dopo? Potrei svolgere questa moltiplicazione. Potrei fare E 3,2. Quindi fatemi tornare indietro e vedere quanto valeva. Qui era E 2,1. E qui c’è E 3,2. E se moltiplico queste due matrici insieme – E 3,2 e E 2,1 otterrò una singola matrici che svolga l’eliminazione. Non voglio farlo perchè esiste una via più semplice di questa. E quindi negli ultimi minuti di questa lezione, posso anticipare il metodo migliore? La via migliore non consiste nel pensare a come giungo a U partendo da A ma come posso da U tornare ad A?

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00:43:20,000 –> 00:44:10,000
Quindi il procedimento inverso – utilizzerò la parola inverso qui. Ok, quindi fatemi fare il primo passaggio, qual’è la matrice inversa? Tutte le matrici che avete visto su questa lavagna hanno una loro inversa. Nessuna delle matrici che ho scritto erano cattive matrici. Abbiamo parlato di possibili fallimenti, e per il momento, inseriamo una matriche che potrebbe causare il fallimento. Ma per ora, tutte queste matrici sono ottime, sono tutte invertibili. E prendiamo l’inversa – bene, fatemi prima dire che cosa significa inversa? Ok. Stiamo muovendo i primi passi verso le inverse.

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00:44:10,000 –> 00:45:40,000
Questi sono i momenti finali di oggi. Scusate, è ancora li. Farò solo un esempio e poi abbiamo finito. L’esempio che prenderò sarà quella E. Quindi la mia matrice è 1,0,0 -3,1,0 e 0,0,1. E voglio trovare quella matrice che annulla quel passaggio. Qual’era quel passaggio? Il passaggio era sottrarre tre volte la prima riga dalla seconda riga. Quindi a quale matrice mi riporterà? Lo sapete, se sono partito con 2,12,2 e l’ho cambiato con 2,6,2 grazie a questo, voglio tornare indietro a 2,12,2. Voglio trovare la matrice che annulla l’eliminazione, la matrice che moltiplicata mi genera la matrice identità.

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00:45:40,000 –> 00:45:40,000
E voi potete dirmi quello che dovrei fare a parole prima, e poi scriveremo la matrice adatta a tale scopo. Se questo passaggio ha sottratto tre volte la prima riga dalla seconda, qual’è il passaggio inverso? Addiziono tre volte la prima riga alla seconda riga, giusto? Lo riaggiungo. Riaggiungo quello che avevo sottratto prima. Quindi la matrice inversa in questo caso è – voglio adesso aggiungere tre volte la prima riga alla riga due, perciò non cambierò la riga uno, non cambierò la terza riga e aggiungerò tre volte la prima riga alla seconda. Questo è un caso in cui la matrice inversa è molto chiara.

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00:45:40,000 –> 00:47:41,000
E’ chiaro a parole quello che devo fare, perchè quello che avevamo fatto è semplice da esprimere. Era semplicemente cambiata la seconda riga a causa della sottrazione di tre volte la terza riga. Quindi per invertirla, l’ho scritta in quel modo. E se noi svolgiamo quel calcolo, tre volte questa riga più uno per quest’altra, otteniamo la giusta riga dell’identità. Ok quindi se questa matrice era E e questa matrice è I per “identità”, allora qual’è la notazione per questa? E alla meno uno. La inversa di E. Ok. Fermiamoci qui per oggi.