MIT Open Course

MIT Meccanica Classica – Cinematica 3D – Caduta Libera [Sub-Ita] 2/6

jollysa87 — Mon, 03 May 2010 12:37:33 +0000

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00:08:24,000 –> 00:08:52,000
Quella è l’altezza massima che raggiungerà in aria. Se fatte lo stesso esperimento sulla luna, con la stessa velocità iniziale, il proiettile arriverà molto più in alto quindi siamo molto felici di vedere che questa G si trova al denominatore. Quindi tutto ha senso. In quale istante l’oggetto si troverà nel punto S? Ora, abbiamo due alternative per ottenere questo risultato.

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00:08:52,000 –> 00:09:20,000
Vi rivolgete a questa equazione, la numero tre, chiedendogli “Quando valete zero?” E vi darà due risposte. Vi dirà “Io sono zero qui in questo istante” e “Sono zero in quell’istante” E quelli sono i due istanti che volevate e questo è quello che scegliamo. E’ perfettamente corretto. C’è un modo più veloce di farlo, ed è il seguente. Questa è una parabola, quindi è completamente simmetrica verticalmente, e rispetto a P.

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00:09:20,000 –> 00:09:52,000
Quindi per salire da O a P impieghiamo lo stesso ammontare di tempo necessario per scendere da P a S e quindi posso dire che il tempo per raggiungere il punto S deve essere due volte il tempo per raggiungere il punto P e per tanto sarà uguale a due volte V con zero per secno di alfa tutto diviso per G. Ma adesso vogliamo ricontrollare se V con zero e senso di alfa sono nel giusto posto.

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00:09:52,000 –> 00:10:28,000
Ovviamente, se aumento la velocità, mi aspetto che ci impieghi più tempo per raggiungere S. Questo perchè se la velocità è maggiore, arriverà più lontano e chiaramente, il tempo sarà maggiore. Se lo sparo con un angolo maggiore, impiegherà pure un tempo maggiore e anche se mi trovassi sulla Luna ci impiegherebbe più tempo. Quindi tutto questo ha senso. Queste equazioni sono soddisfacenti per quanto riguarda i termini V con zero e il seno di alfa.

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00:10:28,000 –> 00:11:06,000
Ma adesso arriviamo ad un punto molto importante che sfrutterò durante il resto della lezione. Voglio sapere quanto vale il tratto OS. La distanza OS… Sparo l’oggetto in aria e poi questo tocca di nuovo il suolo. Qual è la distanza che ha percorso? Bene, per questo ho bisogno dell’equazione numero uno. Abbiamo V di zero in X per il tempo e V di zero in X è uguale a V di zero per coseno di alfa. Per tanto otteniamo V di zero per coseno di alfa per il tempo, cioè due volte V di zero per seno di alfa.

20
00:11:06,000 –> 00:12:00,000
Quindi abbiamo OS uguale a 2 per V di zero al quadrato per coseno di alfa per il seno di alfa tutto diviso G. Il risultato sarà V di zero al quadrato per il seno di due volte alfa tutto diviso G. Ricordate che due per coseno di alfa per il seno di alfa è uguale a seno di due alfa. Questo è OS, ne avrò molto bisogno in futuro, quindi non lo cancellerò. Adesso mi domando, come dovreste fare anche voi, per quale motivo il punto più alto ha un V di zero al quadrato e così anche il punto più lontano.

21
00:12:00,000 –> 00:12:42,000
Perchè anche qui è presente V di zero al quadrato? Ci deve essere un motivo logico. Perchè non è semplicemente V di zero? Perchè questo V di zero è al quadrato? Bene, vi lascerò discutere riguardo il punto più alto e vi darò una ragione per la distanza OS. Non guardate le equazioni. Dovete semplicemente… Pensare per cambiamenti. Raddoppio la velocità. Se ho raddoppiato la velocità allora è ragionevole pensare che pure il tempo che l’oggetto impiega per raggiungere il suolo raddoppia

22
00:12:42,000 –> 00:13:24,000
ma mentre il tempo di volo orizzontale è raddoppiato anche la velocità è raddoppiata. E quindi la distanza percorsa orizzontalmente è quattro volte tanto. Il doppio perchè il tempo è raddoppiato e ancora un altro doppio perchè pure la componente orizzontale è raddoppiata. Quindi ecco perchè abbiamo un V di zero al quadrato. Completamente giustificato. Questo vi dice immediatamente che se volete lanciare una palla il più lontano possibile – le persone che giocano a baseball lo sanno – dovreste lanciarla a 45 gradi.

23
00:13:24,000 –> 00:14:05,000
Perchè se lanciate a 45 gradi allora quest’angolo qui diventa 90 gradi e quindi il seno diventa 1. Ovviamente, nella realtà, il giocatore di baseball lo sa meglio. Danno effetto alla palla, hanno a che vedere con la resistenza dell’aria e quindi queste equazioni non sono più valide. Queste sono valide solo nel caso di vuoto. Adesso voglio testare alcuni dei risultati che abbiamo ottenuto. Sparerò un colpo di pellet… Una palla di metallo.

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00:14:05,000 –> 00:14:45,000
Lo sparerò a diverse angolazioni: 30 gradi, 60 gradi, 45 gradi e cercherò di predirre il punto di impatto sul tavolo sparandolo da li. Una misurazione è inutile se non si conosce l’incertezza. Quindi questa è la prima cosa di cui dobbiamo discutere. Voglio conoscere la velocità del proiettile quando si stacca dalla molla, varierà se sparo tre, cinque o sei volte di fila? Non è la molla di un fucile da 20.000$ quindi sicuramente varierà.

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00:14:45,000 –> 00:15:25,000
Il metodo che utilizzerò per conoscere questa velocità è il seguente. Se sparo un oggetto in aria vericalmente – otterrò il massimo valore che può raggiungere – e con un angolo alfa di 90 gradi il seno varrà uno e l’altezza sarà uguale a V di zero al quadrato diviso due volte G. In altre parole, se misuro l’altezza sparando il colpo verticalmente – e voi lo farete per me come vi dirò – posso calcolare V di zero al quadrato.

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00:15:25,000 –> 00:16:10,000
Quindi la prima cosa che voglio fare è sparare il colpo verticalmente – e come mi aiuterete a calcolare… come mi direte l’altezza? E’ molto più semplice di quanto pensiate. L’estremità superiore di questo strumento si trova a tre metri, tutto quello che voglio da voi è sapere se la palla supera di così (indica con le dita) l’estremità oppure non la raggiunge di tanto così. In seguito fare una media per avere un idea dell’altezza massima raggiunta. Effettuerò l’esperimento due volte.

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00:16:10,000 –> 00:17:00,000
Siete pronti? Cercate di essere sicuri di poter distinguere fra sopra e sotto – fa un enorme differenza ok? 3,2,1,0. Ok, è andato oltre o no? CLASSE: Oltre!. Lewin: Di quanto? Così? Siamo d’accordo? Diciamo 5cm, giusto? Lo accetteremo con un incertezza. Lo rifacciamo ancora. Voglio vedere la ripetibilità del risultato. 3,2,1,0. Più basso? STUDENT: Più in alto. Lewin: Più in alto! Ha superato di 10cm, quindi 5cm di più rispetto a prima, perciò prenderemo 7cm come media. Faremo 7cm e accetteremo una certa incertezza.

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00:17:00,000 –> 00:17:45,000
Quindi l’altezza massima sarà circa 3.07m. Ho fatto questo esperimento questa mattina venti volte e ci sono state volte in cui superava di più di 10cm, qualche volta pure più di 15cm. Per tanto mi sentirei più comodo nello scegliere un incertezza di 15cm per questa altezza. Ricordatevi che quando cominceremo a sparare a 30 gradi, non avremo più modo di valutare la velocità. Dovremmo per forza utilizzare quella velocità. Questo è il modo che abbiamo utilizzato per misurare V di zero.

MIT Meccanica Classica – Cinematica 3D – Caduta Libera [Sub-Ita] 1/6

jollysa87 — Mon, 03 May 2010 12:31:39 +0000

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2
00:00:05,000 –> 00:00:37,000
Oggi ce la prenderemo comoda. Devo pure prendermela comoda perchè altrimenti perderò la voce se non sto attento. Oggi applicheremo quello che abbiamo appresso, quindi non ci sarà nulla di nuovo ma solo applicazioni. E molto importante, faremo chiarezza su tante cose. Abbiamo qui disegnata la traiettoria di una palla. La spariamo in aria con un angolo alfa.

3
00:00:37,000 –> 00:01:10,000
La componente orizzontale nella direzione X è V di zero per il coseno di alfa mentre la componente verticale è V di zero per il seno di alfa. Raggiunge il punto massimo in P e ritorna a terra al punto S. Questo è l’incremento di Y mentre quest’altro è l’incremento di X. Useremo in maniera consistente le equazioni che vedete qui e che ci sono molto familiari.

4
00:01:10,000 –> 00:01:30,000
Queste sono le equazioni unidimensionali lungo la direzione X dove non c’è accelerazione e le equazioni unidimensionali nella direzione Y dove invece l’accelerazione è presente. Per poter utilizzare queste equazioni abbiamo bisogno di conoscere tutte queste costanti – X di zero, V di zero in X e V di zero in Y. Le abbiamo già viste l’altra volta.

5
00:01:30,000 –> 00:01:55,000
Scelgo albitrariamente per X di zero il valore zero. Questo anche per Y di zero. La velocità lungo la direzione Y non cambia mai. Questa V di zero in X rimarrà sempre uguale a V di zero per coseno di alfa. La velocità in Y, comunque, all’istante T uguale zero sarà pari a V di zero per il seno di alfa. E quella li cambierà perchè c’è qui questa T.

6
00:01:55,000 –> 00:02:30,000
L’accelerazione lungo Y, preso questo come incremento di Y, sarà meno 9.8. Siccome ho sempre chiamato più 9.8 con G questo lo chiamerò meno G. Adesso prima voglio farvi una domanda di cui non avete mai visto la risposta: Qual è la forma di questo? Beh, possiamo prendere la terza equazione li e scriverla.

7
00:02:30,000 –> 00:03:20,000
Quella Y, in funzione del tempo, è uguale a V di zero per seno di alfa, per T meno un mezo per G per T al quadrato. E questa è l’equazione in Y. Ora prendiamo la prima equazione in X e la scriviamo qui X di T uguale a V di zero per coseno di alfa per T. Adesso elimino T ed il modo migliore per farlo è farlo qui – evidenziare T con X diviso per V di zero per coseno di alfa.

8
00:03:20,000 –> 00:04:10,000
Adesso posso abbandonare tutti i pedici T per vedremo il rapporto fra X e Y. Elimineremo T. Quindi questo tempo qui, lo sostituirò qui e li in modo da ottenere Y uguale a, dunque, c’è V di zero qui e V di zero qui sotto quindi si elidono poi c’è il rapporto seno di alfa su coseno di alfa che sarebbe la tangente di alfa tutto per X meno un mezzo di G per X al quadrato diviso V di zero per coseno di alfa tutto al quadrato.

9
00:04:10,000 –> 00:04:45,000
Adesso osservate con attenzione. Y è uguale ad una costante per X meno un altra costante per X al quadrato. Si tratta di una parabola. E’ una equazione del secondo ordine in X, è una parabola e una parabola è la sua forma. Quindi vedete, eliminando il tempo quello che si ottiene è una parabola. Voglio portare avanti questo discorso più tardi durante questa lezione.

10
00:04:45,000 –> 00:05:18,000
Vorrei sapere in quale istante di tempo l’oggetto qui arriva al suo punto massimo, il punto di arresto della salita. Arriva a fermarsi lungo la direzione Y. Una volta fermato al suo punto massimo voglio conoscere l’altezza di questo punto. Beh, il modo migliore di farlo è di prendere la quarta equazione e chiedergli “quando sei uguale a zero?” Perchè quello è l’istante di tempo in cui la velocità lungo la direzione Y diventa zero.

11
00:05:18,000 –> 00:06:00,000
Quindi deve trovarsi nel suo punto massimo. Perciò per trovare la posizione del massimo punto P ci poniamo prima la domanda sulla quarta equazione: Quand’è nulla la velocità nella direzione Y? Avremo zero uguale V di Y uguale V di zero per seno di alfa meno G per T ed il tempo T di P uguale a V di zero per il seno di alfa tutto diviso G.

12
00:06:00,000 –> 00:07:12,000
Quello è il tempo necessario all’oggetto per raggiungere il punto P, cioè il punto massimo. Dove si trova quindi? Qual è il punto più alto da terra? Beh, adesso ci rivolgiamo all’equazione numero tre e dovete sostituire questo tempo T di P. Questa altezza H è uguale a Y di T di P che è uguale a V di zero per seno di alfa tutto al quadrato diviso G meno un mezzo per G per V di zero seno di alfa quadrato diviso G al quadrato.

13
00:07:12,000 –> 00:07:57,000
Questa G si elide con quella G al quadrato e trovate finalmente il punto più alto – fatemelo scrivere qui così non blocchiamo quella lavagna – il punto più alto nel cielo è uguale a V di zero per seno di alfa al quadrato diviso due G. Quello è il punto più alto. Gli daremo una colorata per ricordarcene. E’ ragionevole che il punto più alto nel cielo aumenta con l’aumentare di V di zero? Certamente.

14
00:07:57,000 –> 00:08:24,000
Se lo sparo con una velocità maggiore raggiungerà anche una maggiore altezza. Quindi è completamente intuitivo che V di zero si trova al numeratore. Se passo da un angolo piccolo ad un angolo sempre più grande è ragionevole pensare che arriverà più in alto? Certamente. Ve lo sentite tutti nello stomaco che il valore massimo possibile lo avremo per alfa di 90° per una data velocità.

MIT Meccanica Classica – Cinematica 3D, Prodotto Vettoriale e Scalare [Sub-Ita] 6/6

jollysa87 — Tue, 23 Mar 2010 22:24:49 +0000

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70
00:42:30,000 –> 00:43:10,000
Quanto vale l’accelerazione lungo l’asse Y all’istante T uguale a zero? Qual è l’accelerazione? Deve avere a che fare con la gravità. Non c’è un’accelerazione nella direzione X ma credetemi esiste un’accelerazione lungo l’asse Y. Quindi l’accelerazione entra in gioco solo nelle equazioni per Y. Bene, se indichiamo con G uguale 9.80 l’accelerazione dovuta alla gravità – e la indicherò sempre con G – quale sarà l’accelerazione lungo la direzione Y considerando quest’incremento di Y?

71
00:43:10,000 –> 00:44:00,000
Class: “Meno 9.80″ Lewin: Meno 9.8, che chiamerò sempre meno G perchè G sarà sempre positiva. Quindi si tratta di meno G. Quindi tutto ciò è quello che succede per T uguale a zero, ora devo fare la stessa cosa per un generico istante di tempo T. Al tempo T uguale a T, abbiamo la prima linea li. Y di zero è zero. Quindi abbiamo Y in funzione del tempo, Y di zero è zero perciò non dobbiamo lavorare con quella. Quindi questa è zero, perciò V di zero in Y per T ottengo V di zero seno di alfa per T più un mezzo

72
00:44:00,000 –> 00:44:40,000
Ma è meno un mezzo G per T quadrato e adesso posso trovare la velocità nella direzione Y all’istante T – quella è la mia seconda linea. Questa sarà uguale a V di zero per seno di alfa meno G per T mentre l’accelerazione in ogni istante T sarà uguale a meno G. Adesso ho fatto tutto quello che potevo per scomporre questo moto complicato in due moti unidimensionali interamente indipendente fra di loro. Nelle prossime lezione lo utilizzeremo ancora e ancora e ancora…

73
00:44:40,000 –> 00:45:12,000
Questa lezione non è ancora finita, voglio che sappiate che questa è una cosa che utilizzeremo nel corso delle prossime lezioni – intendo la scomposizione di una traiettoria complicata in due più semplici. Ora, osservando questo risultato, noterete che c’è qualcosa di importante e la cosa importante è che la velocità lungo la direzione X per l’intera traiettoria – in assenza di attrito dovuto all’aria – è costante. Solo la velocità lungo la direzione Y sta cambiando.

74
00:45:12,000 –> 00:45:12,000
Questo significa che lancio in aria una palla da golf – per esempio la tiro così – e ha una certa componente X ed una certa velocità, se muovo me stesso con la stessa velocità orizzontale, potrei prendere la palla qui. Dovrebbe tornare esattamente fra le mie mani. Questo perchè c’è solo un accelerazione nella direzione Y ma il moto nella direzione Y è completamente indipendente dalla componente X. La componente X non sa nemmeno cosa sta succedendo lungo la direzione Y.

75
00:45:12,000 –> 00:46:20,000
Nella direzione X, se lancio un oggetto in questo modo, si muoverà con una noiosissima velocità costante. Non c’è alcuna dipendende temporale. E la componente Y fa le proprie cose per conto suo. Sale fino ad arrivare ad un punto massimo, cade e poi si ferma. Ovviamente il moto completo è la sovrapposizione delle due componenti. Proveremo adesso, un modo per dimostrare questo bizarro fenomeno che non è così intuitivo – cioè che la componente X ha una propria vita indipendente.

76
00:46:20,000 –> 00:47:10,000
E il modo che userò per fare questa dimostrazione è il seguente. Abbiamo qui un cannone per sparare le palle da golf e se lo faremo nel modo giusto la palla dovrebbe ricadere nello stesso punto. Non è una cosa facile – necessita di ore e ore di aggiustamenti. La palla da golf sale e poi ricade qui. Non qui, non qui non qui – è semplice. Potete spararla in aria ad un certo angolo e tornerà nel punto di partenza. Una volta ottenuto questo risultato – cioè che la palla torna indietro -

77
00:47:10,000 –> 00:47:45,000
Allora darò una spinta a questo carrello e al momento di passare attraverso quest’interruttore la palla da golf verrà sparata quindi la palla da golf volerà dritta in aria ma con una velocità orizzontale identica alla velocità orizzontale del carrello, quindi il carrello si comporterà come le mie mani. La palla da golf andrà in questo modo ed il carrello la seguirà sempre stando sempre sotto di lei e se l’esperimento avrà esito positivo la palla ricadrà nel carrello.

78
00:47:45,000 –> 00:48:37,000
Prima di tutto permettetemi di mostrarvi – altrimenti, se quello non funziona, è tutto finito – che se spariamo la palla dritta in aria allora torna indietro. Se non facciamo così non devo nemmeno continuare a provare quest’esperimento più complicato. Quindi questa è la palla da golf. Adesso la sparerò in aria. Vicino… Vicino. Ragionevolmente vicino. Bene, siccome è ricaduta molto vicino, forse… Forse dovrei dargli un minimo di margine. Ecco il cannone, ecco la palla.

79
00:48:37,000 –> 00:49:35,000
E questo lo mettiamo giusto per sicurezza. Chiudiamo bene. Quindi, spingerò questo carrello e come arriverà a metà strada il cannone farà fuoco. Avete visto quanto sale palla quindi la palla andrà così [shhhiiiiuuuuu lol]. E a seconda di quanto spingo forte si incontreranno qui oppure qui. Siete pronti? Classe: “Pronti”. Lewin: “Io sono pronto”. La fisica funziona. Ci vediamo mercoledì.

80
00:49:35,000 –> 00:49:40,000
Traduzione a cura di Alessio Sacchetta Cali – www.mit-subita.com

MIT Meccanica Classica – Cinematica 3D, Prodotto Vettoriale e Scalare [Sub-Ita] 5/6

jollysa87 — Tue, 23 Mar 2010 22:23:19 +0000

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60
00:35:20,000 –> 00:36:00,000
Noi analizzeremo con enorme successo queste traiettorie scomponendo questi moti così complicati. Immaginate quale incredibile traiettoria ad arco compie la palla, eppure siamo sempre in grado di scomporre tale moto nel moto lungo la direzione X che è completamente indipendete dal moto della componente Y. Ovviamente dovremmo sempre combinare le due per ottenere quello che sta facendo la particella. Conosciamo le equazioni del moto unidimensionale con accelerazione costante.

61
00:36:00,000 –> 00:36:30,000
La prima linea vi da la posizione X in funzione del tempo. Il pedice T indica che cambia col tempo. E’ la posizione in T uguale a zero più velocità in T uguale a zero più un mezzo A di X per T al quadrato se c’è un accelerazione nella direzione X. La velocità si ottiene immediatamente facendo la derivata prima dello spazio nel tempo, mentre l’accelerazione si ottiene facendo la derivata della velocità.

62
00:36:30,000 –> 00:37:05,000
Ora, se avessimo un moto ancora più complicato – che raggiunge le due o tre dimensioni – possiamo scomporre il moto su tre assi perpendicolari e potete rimpiazzare ogni X qui con una Y che vi darà l’intero andamento lungo l’asse Y e se volete conoscere l’andamento lungo l’asse Z vi basta sostituire queste X con Z. In questo modo avrete scomposto il moto su tre direzioni. Ognuna di esse è lineare. Questo è quello che voglio fare adesso.

63
00:37:05,000 –> 00:37:50,000
Lancerò un oggetto, una palla da golf o una mela in questa classe e tutti noi sappiamo che tale moto si svolgerà sull’unico piano verticale. Quindi avremo un moto su due dimensioni. Questo sarà il mio asse X mentre quest’altro sarà il mio asse Y. Indicherò con questo l’incremento di X e con quest’altro l’incremento di Y. Avrei potuto prendere questo come incremento di Y ma oggi ho deciso di prendere questo come incremento di Y. Sono libero di scegliere.

64
00:37:50,000 –> 00:38:40,000
Tiro un oggetto con una certa angolazione e vedrò un moto di questo tipo – boing! – e torna indietro sul pavimento. La mia velocità iniziale quando ho lanciato l’oggetto era V di zero e l’angolo qui è alfa. La componente X de quella velocità iniziale è V di zero per il coseno di alfa e la componente Y è uguale a V di zero per il seno di alfa. Quindi questa è la velocità iniziale lungo l’asse X mentre questa è la velocità iniziale lungo l’asse Y.

65
00:38:40,000 –> 00:39:35,000
Trascorso un pò di tempo l’oggetto si trova in questo punto P e adesso il vettore posizione che abbiamo chiamato R di T è questo vettore qui. Questo è il vettore che si sta muovendo nel tempo. In questo istante di tempo, X di T è qui mentre Y di T si trova qua. Adesso vedrete per la prima volta l’enorme vantaggio che comporta l’aver scomposto il moto in due moti unidimensionali, che vivono una vita completamente indipendente fra di loro.

66
00:39:35,000 –> 00:40:08,000
Prima X. Voglio sapere tutto quello che c’è da sapere su X. Voglio sapere dove si trova in ogni istante di tempo, voglio conoscere la velocità e l’accelerazione, solo lungo l’asse X. Prima di tutto voglio sapere quello che succede in T uguale a zero. Beh per T uguale a zero, posso scegliere liberamente X uguale a zero quindi possiamo dire che X di zero è uguale a zero. Adesso voglio V di zero in X, qual è la velocità?

67
00:40:08,000 –> 00:40:48,000
La velocità in T uguale a zero, che abbiamo chiamo V di zero in X – è questa velocità, V di zero per coseno di alfa. E non cambierà. Perchè non cambierà? Perchè X è nulla questo termine sparisce e rimane solo V di zero in X. Quindi in tutti gli istanti di tempo la velocità lungo l’asse X è uguale a V di zero per coseno di alfa e l’accelerazione lungo X è nulla. Adesso voglio fare lo stesso sempre per la direzione X ma per un tempo generico T.

68
00:40:48,000 –> 00:41:35,000
Beh, al tempo T, guardo la prima equazione li. X di zero è zero. Conosco V di zero in X, che vale V di zero per coseno di alfa quindi X di T è uguale a V di zero coseno di alfa per T ma non c’è una accelerazione. Qual è V in X di T? la velocità lungo la direzione X per ogni istante di tempo. E’ semplicemente V di zero in X. Non cambia nel tempo perchè non c’è accelerazione. Quindi la velocità iniziale per T uguale zero è la stessa per T-secondi dopo e l’accelerazione è nulla.

69
00:41:35,000 –> 00:42:30,000
Adesso faremo la stessa cosa per la direzione Y. E proprio ora vedrete il vantaggio della scomposizione del moto. Nella direzione Y, scambiamo le X con le Y e quindi partiamo per T uguale a zero. Guardate là. Questo diventa Y di zero uguale a zero. Posso sempre chiamare l’origine zero. Beh, V di zero in Y è questa quantità, è V di zero seno di alfa. Quella è la velocità all’istante T uguale a zero, e vale zero all’istante T uguale a zero.

MIT Meccanica Classica – Cinematica 3D, Prodotto Vettoriale e Scalare [Sub-Ita] 4/6

jollysa87 — Tue, 23 Mar 2010 22:21:28 +0000

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46
00:26:32,000 –> 00:26:57,000
Se avessimo avuto B x A allora avremmo dovuto prendere B e ruotarlo sopra A dell’angolo più piccolo possibile. In questo caso avremmo dovuto girare in senso anti orario e girando in senso anti orario il cavatappi, questo esce fuori. Ecco vedete – quindi il vettore sta puntando in questa direzione. Se vettore punta verso di voi allora dovremmo disegnarlo come un cerchio con un puntino.

47
00:26:57,000 –> 00:27:40,000
In altre parole per questo vettore B x A avremmo lo stesso modulo ma uscirebbe fuori dalla lavagna. Detto in altre parole A x B è uguale a meno B x A con il prodotto scalare di A con B e B con A sono identici. Incontreremo il prodotto vettoriale quando tratteremo le torsioni ed il momento angolare che non sono le parti più semplici di questo corso. Facciamo un esempio molto semplice.

48
00:27:40,000 –> 00:28:14,000
Ancora una volta, non voglio insultarvi con questi tipi di esempi ma ne avrete sicuramente di più difficili nei vostri esercizi. Supponiamo di avere il vettore A uguale al vettore X unitario. E’ un vettore unitario nella direzione di X. Questo significa che A di X è uguale ad uno e A di Y è uguale a zero così come per A di Z. Supponiamo pure che B sia uguale al versore Y. Ciò significa che B di Y vale uno

49
00:28:14,000 –> 00:29:00,000
mentre B di X e B di Z sono nulli. Qual è quindi il prodotto vettoriale A x B? Beh, potete utilizzare quel metodo ma è più facile andare sugli assi X, Y e Z che abbiamo qui. A si trova nella direzione di X mentre B nella direzione Y. Prendo A in mano e lo ruoto dell’angolo più piccolo che è di 90 gradi fino ad Y, ed il mio cavatappi punterà verso l’alto. Quindi già conosco tutto. So che questo prodotto dovrà essere il versore Z.

50
00:29:00,000 –> 00:29:31,000
Il modulo deve essere uno, questo è immediato ed è altrettanto immediato trovare la direzione con il metodo del cavatappi. Ora se siete davvero smart potreste dirmi “Aha! Ha trovato più Z” solo perchè ha usato quel sistema di riferimento. “Se quest’asse fosse stato X mentre quest’altro Y allora il prodotto vettoriale fra X e Y sarebbe stato meno Z” Si avete ragione, ma se vi dovesse capitare farlo… Vi uccido!

51
00:29:31,000 –> 00:30:00,000
Dovrete sempre, sempre lavorare con quello che chiamiamo sistema di coordinate “mano destra”. In un sistema di coordinate destre per definizione avremo sempre più Z come prodotto vettoriale di X con Y e non meno Z. Quindi se in futuro avrete a che fare con prodotti vettoriali, torsioni o momenti angolari prendete sempre le coordinate XYZ in modo da avere più Z come prodotto vettoriale di X con Y.

52
00:30:00,000 –> 00:30:48,000
Non fate mai in modo che il prodotto vettoriale di X con Y sia meno Z. Vi impicchereste da soli. Per una piccola cosa, non funzionerebbe più niente. Quindi state molto molto attenti. Se usate la regola del cavatappi destro dovete essere sicuri di utilizzare un sistema di coordinate destre. Bene, adesso abbiamo terminato con la parte peggiore. Adesso voglio scrivervi le equazioni del moto di una particella nello spazio tridimensionale.

53
00:30:48,000 –> 00:31:25,000
Un moto molto complicato che posso a mala pena immaginare. E’ un punto che si muoverà nello spazio e questo punto sarà P. Questo punto P si muoverà nello spazio ed ora chiamerò questo vettore OP, vettore R a cui darò un sub indice T per indicare il suo cambiamento nel tempo. Indicherò questa posizione A di Y con Y di T. Sta cambiando col tempo. Chiamerò quest’altro X di T – perchè anche questo sta cambiando col tempo.

54
00:31:25,000 –> 00:32:22,000
Chiamerò questo punto Z di T che cambierà col tempo perchè il punto P si muoverà. Quindi scriverò il vettore R nella forma più generale possibile. R, che cambia con il tempo adesso è X di T per il verso X più Y di T per il versore Y più Z di T per il versore Z. Ho scomposto il vettore R con tre vettori indipendenti. Ognuno dei quali varia col tempo. Qual è la velocità di questa particella? Beh, la velocità è la derivata prima dello spazio sul tempo, perciò dR/dT.

55
00:32:22,000 –> 00:33:00,000
Quindi cominciamo, la derivata prima di questo è dX/dT per il versore X – siccome sono pigro indicherò X con un puntino sopra la sua derivata prima nel tempo mentre con due puntini indicherò la derivata seconda, è una nozione che userò spesso perchè altrimenti alcune equazioni possono sempre molto disordinate – più Y col puntino per il versore Y più Z col puntino per il versore Z. Perciò Z col puntino è la derivata prima di Z nel tempo.

56
00:33:00,000 –> 00:33:33,000
Qual è l’accelerazione in funzione del tempo? Beh, l’accelerazione in funzione del tempo è uguale alla prima derivata della velocità nel tempo perciò dV/dT. Siccome le seconde derivate le indichiamo con due puntini avremo X con due puntini per il versore di X più Y con due puntini per il versore di Y più Z con due puntini per il versore di Z. E guardate a cosa siamo arrivati, sembra poco ma più tardi ci sarà di enorme aiuto.

57
00:33:33,000 –> 00:34:10,000
Abbiamo un punto P che siamo su tre dimensioni e qui abbiamo l’intero comportamento della proiezione sull’asse X della particella. Questa è la posizione, questa è la sua velocità e questa la sua accelerazione. Qui invece abbiamo l’intero andamento della sua posizione sull’asse Z. Questa è la sua posizione sull’asse Z, questa è la componente Z della sua velocità mentre qui abbiamo la componente Z della sua accelerazione.

58
00:34:10,000 –> 00:34:40,000
E qui abbiamo la parte di Y. In poche parole abbiamo scomposto il moto tridimensionale in tre moti unidimensionali. Questo è un moto unidimensionale. Questo è il suo comportamento sull’asse X questo sull’asse Y mentre quest’altro sull’asse Z, l’insieme di queste tre moti unidimensionali forma l’intero moto tridimensionale della particella. Che cosa abbiamo ottenuto? Sembra come uno zoo di matematica.

59
00:34:40,000 –> 00:35:20,000
Voi direste “Beh, se questo è come appare la questione, sarà un inferno”. Non proprio infatti c’è un trucco che vi aiuterà moltissimo. Prima di tutto se tiro una palla da tennis in classe in questo modo, allora l’intera traiettoria giacerà sul piano verticale. Quindi anche se si tratta di un moto tridimensionale, possiamo comunque rappresentarlo con due assi, con due dimensioni un asse Y ed un asse X perciò molto spesso un problema tridimensionale si riduce ad un problema 2D.

MIT Meccanica Classica – Cinematica 3D, Prodotto Vettoriale e Scalare [Sub-Ita] 3/6

jollysa87 — Tue, 23 Mar 2010 22:19:49 +0000

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32
00:17:25,000 –> 00:17:55,000
Lo vedremo all’opera, senza troppi giochi di parole quando tratteremo del lavoro in fisica. Vedrete che potremmo avere un lavoro positivo oppure un lavoro negativo e questo dipenderà dal prodotto scalare. Lavoro ed energia sono prodotti scalari. Potrei farvi un esempio semplicissimo, il più semplice che mi viene in mente. Vi sembrerà quasi un insulto, ma non è così.

33
00:17:55,000 –> 00:18:45,000
Supponiamo di avere il prodotto scalare di A con B ed A è il vettore che vedete sulla lavagna. Proprio qui, questo è A. Mentre B è due per Y con il cappelletto. Bene, cos’è A scalar B? Non c’è una componente X di B quindi quello diventa zero, questo termine rimane zero. C’è solo la componente Y di B quindi viene meno cinque più due perciò ottengo meno dieci, perchè non c’era una componente Z.

34
00:18:45,000 –> 00:19:12,000
Più semplice di così quindi viene meno dieci. Posso farvi un altro esempio, secondo esempio. Supponiamo che proprio A sia il vettore unitario nella direzione Y e che B sia il vettore unitario nella direzione Z. Allora quanto vale il loro prodotto scalare? Voglio sentirlo forte e chiaro. Classe: Zero. Lewin: Yeah! Zero. E’ zero, non dovete pensare a nient’altro.

35
00:19:12,000 –> 00:19:45,000
Sapete che si trovano a 90 gradi. Se volete perdere tempo e volete sostituire qui vedrete che quello che viene è zero. Dovrebbe funzionare perchè chiaramente A di Y indica che questo vale uno. Questo è quello che indica. E B di Z vale uno mentre tutti gli altri non esistono. Bene, vi auguro buona fortuna con questo e adesso passiamo ad una parte della moltiplicazione fra vettore che è ancora più complicata.

36
00:19:45,000 –> 00:20:20,000
Parliamo della moltiplicazione fra vettori chiamata “prodotto vettoriale” o anche detto prodotto croce. Questo prodotto vettoriale è indicato come A x B = C. Vi dirò come faccio a ricordarlo. Questo è il primo metodo. Vi insegnerò come ho già fatto per il prodotto scalare, due modi per eseguire il prodotto vettoriale. Vi spiegherò il primo metodo che è quello che funziona sempre.

37
00:20:20,000 –> 00:20:53,000
Ci vuole molto tempo ma funziona sempre. Scrivete una matrice con tre righe. Nella prima riga scrivete i versori di x, y e z. Nella seconda riga scrivete A di X, A di Y e A di Z. E’ importante che se qui abbiamo prima A allora la seconda riga deve essere A mentre la terza riga conterrà B di X, B di Y e B di Z. Quindi quei sei sono numeri mentre quelli sono vettori unitari.

38
00:20:53,000 –> 00:21:48,000
Ripeterò questa parte qui e anche da quest’altro lato – fra poco capirete a cosa mi serve. Ok, ed ora ecco la ricetta. Partite dall’angolo in alto a sinistra, fino all’angolo in fondo a destra. Moltiplicate tutti e tre gli elementi, con il segno più. Quindi avrete C, il prodotto vettoriale di A con B, uguale a A di y per B di Z per il versore X – che per il momento non metterò.

39
00:21:48,000 –> 00:23:05,000
Questo perchè devo sottrarre quest’altra parte, che tiene segno negativo. Abbiamo A di Z per B di Y perciò avremo meno A di Z per B di Y, tutto nella direzione X. Il seguente è questo qui. A di Z per B di X meno A di X per B di Z nella direzione Y. L’ultimo addendo è A di X per B di Y meno A di Y per B di X nella direzione Z. Questa parte qui è quella che chiamiamo C di X.

40
00:23:05,000 –> 00:23:43,000
E’ la componente in X di questo vettore mentre quest’altro lo possiamo chiamare C di Y e quest’ultimo C di Z. Quindi possiamo anche scrivere quel vettore come C uguale a C di X per il versore X più C di Y per il versore Y più C di Z per il versore di Z. Vedremo molti eserci riguardanti questo prodotto vettoriale. Adesso veniamo al secondo metodo, che sarà come nel caso del prodotto scalare

41
00:23:43,000 –> 00:24:28,000
un metodo geometrico. Fatemi provare a lavorare su questa lavagna di mezzo. Se conoscete i due vettori A e B, e conoscete l’angolo nel mezzo theta allora il prodotto vettoriale C = A x B ha modulo pari al prodotto del modulo di A per il modulo di B per il seno di theta, non più il coseno di theta come avevamo prima per il prodotto scalare. E’ il seno di theta.

42
00:24:28,000 –> 00:24:52,000
Quindi potete immediatamente capire come questo sarà zero se theta equivale a zero o 180 gradi mentre il prodotto scalare si annullava quando l’angolo di mezzo era di 90 gradi. Questo numero può essere più grande di zero se il seno di theta è maggiore di zero. Può anche essere più piccolo di zero. Per il momento abbiamo solo il modulo del prodotto scalare e adesso viene la parte più difficile.

43
00:24:52,000 –> 00:25:21,000
Qual è la direzione del vettore C? Questo è qualcosa che dovete scolpire nella vostra testa per non dimenticarlo mai. La direzione si trova nel seguente modo. Prendete A, perchè è menzionato per primo e ruotate A del minore angolo possibile fino a B. Se aveste nelle vostre mani un cavatappi – e ve lo mostrerò tra un minuto – e lo avvitate in senso orario da come vedete la lavagna dai vostri posti, il cavatappi ci entrerebbe dentro.

44
00:25:21,000 –> 00:25:55,000
E se il cavatappi va dentro la lavagna voi vedreste la coda del vettore e quindi una croce, un piccolo segno positivo e per tanto lo disegniamo così. Un prodotto vettoriale è sempre perpendicolare ad entrambi A e B ma vi lascia con due scelte: può puntare fuori dalla lavagna oppure dentro la lavagna secondo la convenzione che vi ho appena illustrato. E voglio mostrarvelo in un modo che può farvi capire meglio.

45
00:25:55,000 –> 00:26:32,000
Questo è quello che ho usato prima per la mia sessione televisiva di supporto che ho tenuto al MIT. Ho una mela – non una mela… Questo è un pomodoro…. Non un pomodoro è una patata. Ho una patata e qui ho un cavatappi. Questo è il cavatappi. Sto per girare il cavatappi in senso orario rispetto la vostra posizione. E vedete come il cavatappi entra dentro la patata – quella è quindi la direzione del vettore.

MIT Meccanica Classica – Cinematica 3D, Prodotto Vettoriale e Scalare [Sub-Ita] 2/6

jollysa87 — Tue, 23 Mar 2010 22:17:51 +0000

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16
00:08:10,000 –> 00:08:52,000
Questo procedimento è chiamato “scomposizione” di un vettore. Sarà molto importante per questo corso e voglio che seguiate questa parte con molta attenzione. Ho un vettore nello spazio tridimensionale. Questo è il mio asse Z, questo il mio asse X e quest’altro il mio asse Y. Questa è l’origine O, qui c’è un punto P e ho il vettore OP – è un vettore.

17
00:08:52,000 –> 00:09:52,000
E cosa faccio adesso, proietto questo vettore sui tre assi X, Y e Z. Ognuno ha il suo modo di farlo. Ecco fatto. Chiamo questo vettore “Vettore A”. Adesso, questo angolo sarà “theta” mentre quest’altro sarà “phi”. Notate che la proiezione di A sull’asse Y ha un numero qui che chiamerò A di Y. Questo numero è A di X e quest’altro sarà A di Z. Semplicemente una proiezione del vettore sui tre assi.

18
00:09:52,000 –> 00:10:23,000
Introduciamo adesso quello che chiamiamo “vettori unitari”. I vettori unitari puntano sempre nella direzione positiva degli assi ed il vettore unitario della direzione di X è questo qui. Ha lunghezza unitaria e lo indichiamo con X con un cappelletto sopra. Questo cappelletto indica sempre vettori unitari. Questo è il vettore unitario in Y e quest’altro in Z.

19
00:10:23,000 –> 00:10:57,000
Adesso riscriverò il vettore A in termini delle tre componenti che ho trovato. Quindi il vettore A, lo scriverò come “A di X per X con il cappelletto più A di Y per Y con il cappelletto più A di Z per Z con il cappelletto”. E questo A di X per il vettore unitario di X è un vettore che parte dall’origine e arriva fino a qui. Quindi potremmo sostituirlo con un vettore se volete.

20
00:10:57,000 –> 00:11:46,000
Questo è quel vettore. Oh scusate, questo è A di Z per il vettore unitario di Z. Quindi questi vettori verdi sommati danno esattamente il vettore OP, perciò abbiamo scomposto un vettore in tre direzioni. Vedremo come questo molto spesso durante il corso ci sarà di grande aiuto. Il modulo del vettore sarà la radice quadrata di A di X al quadrato più A di Y al quadrato più A di Z al quadrato.

21
00:11:46,000 –> 00:12:25,000
Possiamo fare un semplice esempio. Per esempio prendo il vettore E – questo è solo un esempio – che sarà E di X uguale a 3 per X con il cappelletto meno cinque per Y con il cappelletto più sei per Z con il cappelletto. Questo significa che il vettore è di tre unità in questa direzione, cinque unità in questa direzione – nella direzione negativa di Y – e sei unità nella direzione positiva di Z.

22
00:12:25,000 –> 00:12:50,000
Questo produce un vettore che chiamerò vettore A. Qual’è il modulo di quel vettore – che indico sempre con due segni verticali, certe volte lo indicherò con due segni verticali da un lato solo ma intenderò sempre il modulo oppure semplicemente non metterò la freccetta in cima, ma comunque mi piace andare sempre sul sicuro perchè in questo modo sapete con certezza che sto indicando il modulo.

23
00:12:50,000 –> 00:13:14,000
Quindi quello sarà la radice quadrata di tre al quadrato che è nove, più cinque al quadrato che è venticinque più sei al quadrato che fa trentasei. Quindi abbiamo la radice di settanta. Credo di dovervi chiedere “Cos’è theta?” è univocamente definito ovviamente. Questo vettore è univocamente definito in un spazio tridimensionale per tanto dovreste essere in grado di trovare phi e theta.

24
00:13:14,000 –> 00:14:00,000
Beh, il coseno di theta, vedete quest’angolo qui, è una proiezione a 90 gradi. Perciò il coseno di theta è uguale ad A di Z diviso per A stesso che nel nostro caso sarà sei diviso la radice quadra di settanta. Potete farlo tranquillamente. Si tratta semplicemente di manipolare un pò di numeri. Adesso arriviamo ad una parte sui vettori molto più complicata e si tratta della moltiplicazione fra vettori.

25
00:14:00,000 –> 00:14:28,000
Non ne avremmo bisogno fino ad Ottobre ma ho deciso che possiamo togliercelo di mezzo adesso. Ora che abbiamo introdotto i vettori che abbiamo imparato a sommarli e sottrarli potete imparare benissimo pure come si moltiplicano. E’ come andare dal dentista. E’ un pò doloroso ma è un bene per voi e subito dopo il dolore sparisce. Quindi parleremo della moltiplicazione fra vettori, una cosa sui cui non torneremo fino ad ottobre.

26
00:14:28,000 –> 00:15:07,000
Ci sono due modi per moltiplicare i vettori, il primo è chiamato “prodotto punto” solitamente chiamato “prodotto scalare”. A punto B, un grosso punto, è definito come A di X per B di X, che è solo un numero, più a A di Y per B di Y, che è un altro numero, più A di Z per B di Z che pure è un ennesimo numero. Questo è uno scalare. Non ha più una direzione. Questo è il prodotto scalare.

27
00:15:07,000 –> 00:15:40,000
Quindi quello è il primo metodo. E’ completamente legittimo e potete sempre usarlo. C’è anche un altro modo per trovare il prodotto scalare dipende da quali dati conoscete – come si presenta il problema. Se qualcuno vi da il vettore A e voi avete il vettore B sapendo in qualche modo l’angolo fra i due, l’angolo theta – che non ha niente a che fare con l’angolo theta di prima è solo l’angolo fra i due vettori.

28
00:15:40,000 –> 00:16:15,000
Allora il prodotto scalare è determinabile anche nel seguente modo e faremo una prova per dimostrarlo. Proiettate il vettore B su A. Questa è quella proiezione. La lunghezza di questo vettore è B per coseno di theta. E allora il prodotto scalare è il modulo di A per il modulo di B per il coseno di theta (l’angolo fra i due vettori A e B). I due sono completamente identici.

29
00:16:15,000 –> 00:16:36,000
Ora, potreste chiedermi, potreste dirmi “Gee, come faccio a sapere quanto vale theta?” Come faccio a saperlo dovrei prendere quest’angolo come theta oppure dovrei prendere quest’altro? Voglio dire, qual è l’angolo che A forma con B? Non fa alcuna differenza perchè il coseno di quest’angolo qui è uguale al coseno di 360 gradi meno theta quindi non c’è alcuna differenza.

30
00:16:36,000 –> 00:17:04,000
A volte questo metodo è il più veloce dipende da come si presenta il problema, mentre altre volte è più rapido l’altro metodo. Potete capire immediatamente osservando questa formula che il prodotto scalare può essere maggiore di zero, minore di zero oppure uguale a zero. A e B sono per definizione sempre positivi. Sono dei moduli. Quindi sarà sempre determinato dal coseno di theta.

31
00:17:04,000 –> 00:17:25,000
Se il coseno di theta è maggiore di zero, beh, allora sarà maggiore di zero anche il prodotto scalare. Il coseno di theta può essere zero. Se l’angolo thete è uguale a pi greco mezzi, in altre parole, se i due vettori sono perpendicolari, allora il prodotto scalare sarà nullo. Invece se l’angolo è compreso fra 90 e 180 gradi allora il prodotto scalare sarà negativo.

MIT Meccanica Classica – Cinematica 3D, Prodotto Vettoriale e Scalare [Sub-Ita] 1/6

jollysa87 — Tue, 23 Mar 2010 22:14:49 +0000

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2
00:00:05,000 –> 00:00:25,000
La cattiva notizia per oggi è che bisognerà fare i conti con un pò di matematica, ma la buona notizia è che la tratteremo una volta sola e ci vorrà una mezz’oretta. Ci sono quantità in fisica che sono determinate solo da un unico numero. La massa è una di queste quantità. Un’altra è la temperatura. Pure la velocità scalare. Queste quantità le chiameremo “Scalari”.

3
00:00:25,000 –> 00:00:44,000
Ci sono altre quantità che necessitano più di un numero per essere definite, per esempio nel moto unidimensionale, la velocità vettoriale ha un certo modulo – pari alla velocità scalare – insieme ad un verso che può essere in questa direzione o in quest’altra. Quindi deve essere specificata pure la direzione. La velocità è un vettore e l’accelerazione pure.

4
00:00:44,000 –> 00:01:20,000
Oggi impareremo a lavorare con questi vettori. Un vettore ha una lunghezza ed una direzionem, per questo viene rappresentato con una freccia. Come avrete già visto tutti, questo è un vettore. Ricordatevelo – questo è un vettore. Se lo vedete di fronte, avrete un punto. Se lo vedete da dietro, avrete una croce. Questo è un vettore e questa sarà la nostra rappresentazione.

5
00:01:20,000 –> 00:02:05,000
Immaginate che io mi trovi in piedi sul tavolo in 26.100. Questo è il tavolo, e diciamo che io mi trovo nel punto O e che mi sposto in linea retta dal punto O al punto P. Qui è dove mi trovo sul tavolo e qui è dove mi vedreste da 26.100. In qualche modo succede che qualcuno sposta il tavolo, da qui a qui. Quindi questo significa che il mio tavolo è stato spostato verso il basso.

6
00:02:05,000 –> 00:02:39,000
e così anche il mio punto P perciò adesso mi vedrete nel punto S. Voi mi vedrete nel punto S in 26.100 anche se io mi troverò in piedi nello stesso punto di prima sul tavolo. Il tavolo si è mosso. E’ questa ora la posizione del tavolo. Vedete, l’intero tavolo si è spostato. Ora, se questi due spostamenti avvengono simultaneamente quello che vedrete da dove siete seduti

7
00:02:39,000 –> 00:03:23,000
sarà io che mi muovo in linea retta dal punto O al punto S. Questo cela il segreto della somma di due vettori. Diremo che il vettore OS – e ci metteremo una freccia sopra – è uguale al vettore OP, sempre con una freccia in cima, sommato al vettore PS. Questo definisce come sommare i vettori. Ci sono vari modi per sommare dei vettori. Supponiamo di avere qui un vettore A e un altro vettore B.

8
00:03:23,000 –> 00:04:00,000
Allora potrete sommarli in questo modo che io chiamo tecnica “testa-coda”. Prendo la coda di B e l’attacco alla testa di A. Quindi questo è B, è un vettore ed il risultato netto sarà A più B. Questo vettore C è uguale alla somma di A con B. Questo un modo di farlo. Non importa da dove prendete B… Se prendete la coda di B e la testa di A o viceversa. Otterrete sempre lo stesso risultato.

9
00:04:00,000 –> 00:04:42,000
C’è anche un altro modo di farlo, che chiamo “il metodo del parallelogramma”. Qui avete il vettore A. Mettete le due code insieme, perciò qui c’è B ora e quindi le code si toccano e potete completare il parallelogramma. Quindi il vettore C è la stessa somma vettoriale che avevate qui, qualsiasi modo preferiate. Vedete immediatamente come A più B sia uguale a B più A. Non c’è alcuna differenza.

10
00:04:42,000 –> 00:05:17,000
Qual’è il significa di vettori negativi? Beh, A meno A uguale a zero – il vettore A sottratto al vettore A equivale a zero. Quindi qui abbiamo il vettore A. Quale vettore di aggiungere per ottenere zero? Devo addizionare meno A. Beh, se usate la tecnica testa-coda, questo è A, dovete aggiungere questo vettore per ottenere zero quindi questo è meno A e perciò meno A non è nient’altro che

11
00:05:17,000 –> 00:06:05,000
lo stesso vettore A ma ruotato di 180°. Lo useremo molto spesso. Questo ci porta alla questione su come sottarre i vettori? Avremo A meno B uguale a C. Qui abbiamo il vettore A e qui abbiamo – fatemelo scrivere qui sotto – qui abbiamo il vettore B. Un modo di vederla è questo. Possiamo dire che A meno B è uguale ad A più, meno B – sappiamo come addizionare i vettori e sappiamo cos’è meno B.

12
00:06:05,000 –> 00:06:48,000
Meno B è lo stesso vettore B ma ruotato di 180° quindi mettiamo qui meno B e perciò questo vettore adesso è uguale ad A meno B. Questo è il vettore C, A meno B. Ovviamo, potete farlo in modi diversi. Potete pure pensare a C più B uguale A. Giusto? Potete prendere questo e portarlo dall’altra parte. Potete dire C più B è uguale ad A… C più B è uguale ad A. In altre parole, quale vettore devo

13
00:06:48,000 –> 00:07:13,000
aggiungere a B per ottenere A? E allora avrete di nuovo da usare la tecnica del parallelogramma. Ci sono molti modi di farlo. La tecnica testa-code è però quella più facile e rapida. Quindi potete aggiungere un numero qualsiasi di vettori, uno più l’altro, ed il seguente e avrete finalmente la somma di cinque o sei o sette vettori che potrà essere rappresentata da un vettore solo.

14
00:07:13,000 –> 00:07:38,000
Quando sommate degli scalari, per esempio, cinque e quattro allora avrete una sola risposta, cioè nove. Cinque più quattro fa nove. Supponiamo di avere due vettori. Non abbiamo alcuna informazione sulla loro direzione ma sapete che il modulo del primo è quattro mentre il modulo del secondo è cinque. E’ tutto quello che sapete. Quindi il modulo del vettore somma sarà nove, se sono equiversi.

15
00:07:38,000 –> 00:08:10,000
Oppure il modulo sarà uno se sono discordi. Perciò ci sono molte possibilità perchè non conoscete la direzione. Quindi l’addizione e la sottrazione di vettore sono più complicate che per gli scalari. Come abbiamo visto, la somma di vettori può essere rappresentata da un unico vettore, ugualmente possiamo prendere un vettore e rappresentarlo come la somma di altri.

MIT Meccanica Classica – Cinematica 1D, Accelerazione e Velocità 6/6

jollysa87 — Tue, 16 Mar 2010 15:25:19 +0000

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72
00:42:44,000 –> 00:43:20,000
Non so dove si trova, perchè il tempo di scatto e di inizio caduta non sono sincronizzati, perciò è possibile che la prima volta che la luce colpisce la mela questa si trova qui mentre al secondo scatto qua. Ma anche possibile che la prima volta si trova qui e la seconda in quest’altro punto. Mi direte voi dove la vedete, faremo pure delle foto che ci mostreranno esattamente dove si trova la mela in quei due istanti diversi.

73
00:43:20,000 –> 00:44:20,000
Quindi questo è il primo allerta. Tenetevi pronti per questo, poi ne faremo un altro che sarà ancora più intrigante. Come prima cosa dovrò abbassare questo telo così avremo un comodissimo sfondo nero per le osservazioni. Wow, con le mie impronte sopra non è più così nero. Ecco fatto, questo è lo sfondo. Oh, che sto facendo la scala mi serve ancora, devo mettere la mela in cima. Il venerdì è sempre un brutto giorno per me.

74
00:44:20,000 –> 00:45:39,000
Ok, quindi adesso metterò la mela lassù. Ci sono degli elettromagneti li, quindi adesso spingo l’interruttore per accenderli. Molto simile a quello che abbiamo visto l’ultima volta. Dobbiamo mettere la mela la e lasciarla attaccata. Perfetto adesso devo fare partire lo stroboscopio, a circa 2 flash al secondo. Spegnerò pure tutte le luci. Conterò 3,2,1,0 e Bob, che sta li, che si trova dietro la video camera, aprirà l’otturatore quando dirò uno mentre quando dirò zero la palla cadrà.

75
00:45:39,000 –> 00:46:30,000
Perciò voi vedrete la palla solo nel suo punto più alto, che non conta ovviamente, perchè ci saranno due flash dal momento in cui viene tolto l’otturatore e lascio cadere la palla. Ok, se voi siete pronti, io sono pronto. Fate più buio possibile. Bob, sei pronto? La classe è pronta? [La classe risponde di si] Tutti pronti? Non mi sembrate pronti. Ok… 3,2,1. [silenzio] Quello era zero. ok, adesso rivediamo quello che è successo a rallentatore.

76
00:46:30,000 –> 00:47:20,000
Dov’è la palla? Quindi adesso svilupperemo la foto e vorrei che mi diceste dove avete visto le palle. Dove stavano approssimativamente? Dove si trovava la prima? Quanto al di sotto del punto più alto? Solo tanto così? La prima, mentre la seconda si trovava molto in basso. Ok, sembra interessante. Mentre la foto è in fase di sviluppo, testerò i vostri sensi. Proverò a “fleshare” di nuovo con una frequenza sconosciuta… Sconosciuta a voi. Vi dirò un segreto – è un alta frequenza.

77
00:47:20,000 –> 00:48:25,000
Vedrete più palle durante la caduta. Non vi chiederò dove si trovano esattamente. Tutto quello che voglio sapere da voi è quante palle vedete. E’ tutto. Quindi contatele durante la caduta. Sapete che abbiamo solo 0.8 secondi per contarle. Bob, com’è venuta la foto? Wow, sei stato bravo! Whoa, sei bravo. La prima si trovava molto in alto al primo scatto. Vedete… E’ venuta benissimo. Adesso viene la seconda parte. E’ stato sistemato l’audio? Sembrerebbe di si.

78
00:48:25,000 –> 00:49:45,000
Quindi, ho attivato di nuovo i magneti. Rimetto la palla al suo posto, ecco fatto. Oh, dio. Ok? Grazie Bob. Ok Bob, se sei pronto, io sono pronto. Faremo di nuovo più buio possibile. Quindi l’unica cosa che mi dovrete dire è quante palle vedete. Oh,oh,oh,oh, devo cambiare la frequenza dello stroboscopio. Oh dio… [La classe ride] Dai, ora siete al MIT! Cosa pensate? Bene… Tutti pronti? Bob sei pronto? [Bob: Ok] Allora 3,2,1… Quindi chi ne ha viste 3?

79
00:49:45,000 –> 00:50:32,000
[Studente: Quattro!] Quattro. [la classe tira fuori altri risultati] Quattro, voglio sapere chi ne ha viste quattro. Studente: Sette!. Lewin: Cinque? Cinque, un cinque qui, c’è un cinque. Un altro cinque? Chi ne ha viste sei? Studente: Sei. Lewin: Wow… Sette? Otto? Nove? Dieci? Undici? Chi ha visto solo una scia sfocata? [Classe ride] Quelli sarebbero i veri vincitori credo. Bene, vi dirò, erano 10 hertz. Siccome erano 0.8 secondi, vi mostrerò che potevano essere sette o forse otto, è stato un buon test.

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00:50:32,000 –> 00:51:02,000
Pure per quelli che credevano di averne viste solo cinque, contiamole insieme. Uno, due, tre, quattro, cinque, sei, sette, otto… Questo è un rimbalzo. Quindi a quelli che ne hanno viste cinque dico “Riposatevi questo weekend, ne avete bisogno” e ne ho bisogno anche io. Ci vediamo lunedì.

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00:51:02,000 –> 00:51:07,000
Traduzione a cura di Alessio Sacchetta Cali – www.mit-subita.com

MIT Meccanica Classica – Cinematica 1D, Accelerazione e Velocità 5/6

jollysa87 — Tue, 16 Mar 2010 15:19:35 +0000

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00:34:10,000 –> 00:34:45,000
Provate ad immaginare quello che sta succedendo solo così potete capire davvero. Solo allora comincerete a focalizzarlo bene in testa. Adesso vorrei scrivere, in un maniera più generica, le equazioni dello spazio e della velocità come funzioni del tempo per un moto unidimensionale con accelerazione costante. Quindi avremo ancora una dimensione con l’accelerazione che sarà costante.

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00:34:45,000 –> 00:35:20,000
Perciò l’equazione che sto per scrivere è l’equazione più generica che si possa avere. Quindi avremo X uguale un qualche numero C con 1 più un qualche valore C con 2 per T più un C con tre per T al quadrato. Notate – oh, ho già cancellato il mio esempio. L’esempio è andato ma vi ricordate che questo era un otto prima, quest’altro era – cosa avevamo qui? Meno… avevamo un meno sei – e un meno 1 per T al quadrato. Quindi avete riconosciuto quei tre…

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00:35:20,000 –> 00:36:10,000
Adesso posso svolgere le derivate per ottenere la velocità uguale a C con due più 2 per C con tre per T, e l’accelerazione a uguale 2 per C con tre. Adesso cercheremo di capire meglio queste quantità. C con uno è la posizione di X all’istante T uguale a zero, che di solito si indica con X con zero perchè quando T è zero, quello è il punto X in cui l’oggetto si trova. C con due è la velocità all’istante T uguale a zero perchè quando T è zero la velocità è C con due.

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00:36:10,000 –> 00:36:43,000
E l’accelerazione adesso non sta cambiando col tempo. Per tanto C con tre equivale a metà dell’accelerazione. Quindi questo vi da una prospettiva migliore del significato di queste quantità e potete leggerne la fisica. C1, C2 e C3 possono essere indipendentemente nulli, maggiori di zero o negativi. Non fa alcuna differenza, ognuna di quelle combinazioni è una valida possibilità in fisica.

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00:36:43,000 –> 00:37:13,000
Quando abbiamo gravità un oggetto è influenzato dall’accelerazione gravitazionale e questa accelerazione è una costante. Spesso indicheremo l’accelerazione gravitazionale con la lettera “g”. Sia che lascio cadere un oggetto o lo lancio verticalmente in su o in giù, avremo sempre un moto unidimensionale. Diventa bidimensionale quando lo lancio con un certo angolo.

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00:37:13,000 –> 00:37:54,000
Per ora lo mantengo unidimensionale, l’accelerazione è sempre la stessa e quella g – accelerazione gravitazionale – a Boston vale 9.80 metri al secondo quadrati e varia di poco in diversi punti dela Terra. Questa accelerazione gravitazionale è indipendente dalla massa dell’oggetto che lascio cadere, dalla velocità dell’oggetto, dalla sua composizione chimica, dalle dimensioni, dalla forma, supponendo che non ci sia aria ossia supponendo di essere nel vuoto.

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00:37:54,000 –> 00:38:40,000
E’ ovvio che l’accelerazione gravitazionale è indipendente da tutti questi parametri? Sicuramente no. E’ vero? Noi ci crediamo, ma vorrei che voi capiste che non è una cosa ovvia e che non può essere dimostrato con i primi principi. Ricordate, l’ultima volta che abbiamo lasciato cadere una mela da 3 metri ed un altra da 1.5 metri e come vostro secondo esercizio, vi chiedo di calcolare l’accelerazione G usando quei due esperimenti. E ovviamente voglio sapere qual è l’incertezza sul risultato finale.

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00:38:40,000 –> 00:39:20,000
Vorrei darvi una mano per impostare il problema e anche per riscrivere queste equazioni in termini di G. Ogni volta che abbiamo a che fare con la gravità, dobbiamo avere una G nelle equazioni. Quindi supponiamo di avere un oggetto in questo punto all’istante T uguale a zero. Questa era la mela, e chiamerò quella posizione X con zero. Sono libero di scegliere il mio punto zero. E la velocità nel punto zero è nulla. L’oggetto cade e colpisce il pavimento.

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00:39:20,000 –> 00:40:10,000
Bene adesso veniamo alle equazioni generali con la gravità G. Scelgo questo come l’incremento di X, potete pure sceglierne uno diverso. Questa è la mia scelta per oggi. Avremo quindi X uguale a x con zero più V con zero per T più un mezzo G per T al quadrato, avendo G = 9.80 metri al secondo quadrato. Inoltre avremo la velocità V uguale a V con zero più G per T e l’accelerazione che è costante uguale proprio a G.

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00:40:10,000 –> 00:40:37,000
Ora nel mio caso ho scelto T uguale a zero e perciò X è uguale a zero e così anche la velocità per tanto questi termini spariscono. E quindi vedete che quando l’oggetto si trova in questo punto, cioè tre metri sotto il punto di partenza, e conoscete il tempo impiegato per arrivarci, allora potete calcolare G. Avremo X uguale a tre metri, poi avevamo misurato in classe il tempo di caduta, perciò conoscete pure T e potete calcolare G.

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00:40:37,000 –> 00:41:13,000
E potete farlo usando i dati di entrambi gli esperimenti e ovviamente dovete anche dirmi qual’è l’incertezza nelle misurazioni. Ricordate che l’ultima volta avevamo ottenuto T uguale a C per la radice di H su G e non abbiamo mai scoperto cosa fosse C. Vi ho fatto una dimostrazione per mostrarvi come il tempo fosse proporzionale alla radice quadrata di H. Non abbiamo studiato cosa fosse quella C. Adesso lo sapete, perchè ora avete le equazioni qui e potete vedere come C è semplicemente la radice quadrata di 2.

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00:41:13,000 –> 00:41:50,000
Non potevo ricavarlo solamente dalla mia analisi dimensionale. Adesso voglio che vi rilassiate e al tempo stesso che stiate in allerta per un piccolo cambiamento. Osservate questa situazione, V uguale a G per T. Questo significa che quando lascio cadere una mela – e ne lascerò cadere un altra oggi – la velocità aumenta col tempo. Quindi se fotografo la mela in caduta, posso osservare che la distanza fra i vari scatti aumenta a causa dell’aumento della velocità con il passare del tempo.

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00:41:50,000 –> 00:42:44,000
Qui ho una mela e la metterò a circa tre metri di altezza rispetto al pavimento – quindi l’altezza sarà di approssimativamente tre metri. Sappiamo dall’ultima volta, ricordate, che per toccare il suolo impiega 780 millisecondi. L’arrotonderò a 0.8 secondi solo per averne un idea. Se fotografo la mela due volte al secondo – che chiamiamo 2 hertz, quindi la macchinetta scatta 2 volte al secondo. Allora dovrei fotografare la mela, due volte durante la caduta.